디지털 글쓰기

수능수학 (2023)

데이터 과학자 학부모입장에서 챗GPT시대 수학능력평가 수학문제를 풀어보자.

저자
소속

이광춘

한국 R 사용자회

1 대학수학능력시험

한국교육과정평가원에서 대학수학능력시험을 주관한다. 가장 최근에 실시된 수학능력평가시험지를 살펴보면 다음과 같다.

1.1 문제지

2023학년도 대학수학능력시험 문제지 중에서 수학영역 PDF를 다운로드 받으면 다음과 같이 확인이 가능하다.

코드 
knitr::include_graphics("data/math/2교시_수학영역_문제지.pdf")

1.2 정답지

정답지도 함께 제공되어 각문제에 대한 정답도 확인가능하다.

코드 
knitr::include_graphics("data/math/2교시_수학영역_정답표.pdf")

2 기계판독

기계판독 가능한 형태로 작업을 해야만 챗GPT를 활용하여 문제를 풀 수 있다. 이를 위해서 다양한 도구를 사용하여 작업을 수행한다.

2.1 정답지

파이썬 tabula 패키지를 사용하여 PDF 파일에서 텍스트를 표형태로 된 데이터를 추출한다.

코드 
import pandas as pd
import tabula
answer_file = "data/math/2교시_수학영역_정답표.pdf"
answer = tabula.read_pdf(answer_file, pages='all')
#> Got stderr: 6월 07, 2023 12:59:58 오후 org.apache.pdfbox.pdmodel.font.PDType0Font toUnicode
#> 경고: No Unicode mapping for CID+24813 (24813) in font *ÇѾç½Å¸íÁ¶-Identity-H
#> 6월 07, 2023 12:59:58 오후 org.apache.pdfbox.pdmodel.font.PDType0Font toUnicode
#> 경고: No Unicode mapping for CID+29678 (29678) in font *ÇѾç½Å¸íÁ¶-Identity-H
#> 6월 07, 2023 12:59:58 오후 org.apache.pdfbox.pdmodel.font.PDType0Font toUnicode
#> 경고: No Unicode mapping for CID+30190 (30190) in font *ÇѾç½Å¸íÁ¶-Identity-H
#> 6월 07, 2023 12:59:58 오후 org.apache.pdfbox.pdmodel.font.PDType0Font toUnicode
#> 경고: No Unicode mapping for CID+30205 (30205) in font *ÇѾç½Å¸íÁ¶-Identity-H
#> 6월 07, 2023 12:59:59 오후 org.apache.pdfbox.pdmodel.font.PDType0Font toUnicode
#> 경고: No Unicode mapping for CID+24813 (24813) in font *ÇѾç½Å¸íÁ¶-Identity-H
#> 6월 07, 2023 12:59:59 오후 org.apache.pdfbox.pdmodel.font.PDType0Font toUnicode
#> 경고: No Unicode mapping for CID+29678 (29678) in font *ÇѾç½Å¸íÁ¶-Identity-H
#> 6월 07, 2023 12:59:59 오후 org.apache.pdfbox.pdmodel.font.PDType0Font toUnicode
#> 경고: No Unicode mapping for CID+30190 (30190) in font *ÇѾç½Å¸íÁ¶-Identity-H
#> 6월 07, 2023 12:59:59 오후 org.apache.pdfbox.pdmodel.font.PDType0Font toUnicode
#> 경고: No Unicode mapping for CID+30205 (30205) in font *ÇѾç½Å¸íÁ¶-Identity-H

파이썬 tabula 패키지로 추출한 데이터표를 R에서 데이터 전처리 작업을 수행한다.

코드 
library(tidyverse)
library(reticulate)
library(gt)

odd_1 <- py$answer[[1]] %>% 
  janitor::clean_names(ascii = FALSE) %>% 
  select(1:3) %>% 
  set_names(c("문항번호", "정답", "배점")) %>% 
  mutate(구분 = "공통") %>% 
  mutate_all(.funs=as.character)

odd_2 <- py$answer[[1]] %>% 
  janitor::clean_names(ascii = FALSE) %>% 
  select(4:6) %>% 
  set_names(c("문항번호", "정답", "배점")) %>% 
  mutate(구분 = "공통") %>% 
  mutate_all(.funs=as.character)

odd_3 <- py$answer[[1]] %>% 
  janitor::clean_names(ascii = FALSE) %>% 
  select(7:9) %>% 
  set_names(c("문항번호", "정답", "배점")) %>% 
  mutate(구분 = "확통") %>% 
  mutate_all(.funs=as.character)

odd_4 <- py$answer[[1]] %>% 
  janitor::clean_names(ascii = FALSE) %>% 
  select(10:12) %>% 
  set_names(c("문항번호", "정답", "배점")) %>% 
  mutate(구분 = "미적") %>% 
  mutate_all(.funs=as.character)

odd_5 <- py$answer[[1]] %>% 
  janitor::clean_names(ascii = FALSE) %>% 
  select(13:15) %>% 
  set_names(c("문항번호", "정답", "배점")) %>% 
  mutate(구분 = "기하") %>% 
  mutate_all(.funs=as.character)


odd_tbl <- bind_rows(odd_1, odd_2) %>% 
  bind_rows(odd_3) %>% 
  bind_rows(odd_4) %>% 
  filter(str_detect(문항번호, "\\d"))

odd_tbl %>% 
  gt::gt() %>% 
  cols_align("center") %>% 
  # gtExtras::gt_theme_538() %>% 
    opt_interactive(
    use_search = TRUE,
    use_filters = TRUE,
    use_resizers = TRUE,
    use_highlight = TRUE,
    use_compact_mode = TRUE,
    use_text_wrapping = FALSE,
    use_page_size_select = TRUE
  )

2.2 문제지 (한문항)

\(\LaTeX\)으로 작성된 .tex 파일을 .md 파일로 쉽게 변환시킬 수 있다.

pandoc -s 2교시_수학영역_문제지.tex -o 2교시_수학영역_문제지.md

2023학년도 대학수학능력시험 문제지 수학문제 홀수형 1번 문제를 추출해보자.

코드 
problems <- read_lines("data/math/2교시_수학영역_문제지/2교시_수학영역_문제지.md")
## \\ --> \
writeLines(str_replace_all(problems[13:14], "\\\\\\\\", "\\\\"))
  1. \(\left(\frac{4}{2^{\sqrt{2}}}\right)^{2+\sqrt{2}}\) 의 값은? [2점] (1) \(\frac{1}{4}\) (2) \(\frac{1}{2}\) (3) 1 (4) 2 (5) 4

2.3 문제지 (전체문항)

한 문항을 확장하여 전체문제를 기계판독해보자. 먼저 파이썬에서 텍스트 문제를 불러 전처리 작업을 수행한다.

코드 
import pandas as pd
import re

# Read the lines of the file
with open("data/math/2교시_수학영역_문제지/2교시_수학영역_문제지.md", 'r') as f:
    problems = f.readlines()

# Combine the lines into a single string
problems_txt = ' '.join(problems)

# Split the string on "짝수형"
problems_split = re.split('짝수형', problems_txt, maxsplit=1)

# Get the first part of the split (equivalent to problems_split[1] in R)
problem_odd_raw = problems_split[0]

split_text = re.split(r"(?=\b\d+\.\s)", problem_odd_raw)

# for i, segment in enumerate(split_text):
#     print(f"Segment {i}:\n{segment}\n-----")

# split_text_as_string = '\n'.join(split_text)
# 
# # Write the string to a text file
# with open('data/math_problems.txt', 'w') as f:
#     f.write(split_text_as_string)
코드 
# problems_py <- read_lines('data/math_problems.txt')

problem_tbl <- py$split_text %>% 
  enframe(value = "raw_text") %>% 
  filter(str_detect(raw_text, "^\\d")) %>% 
  mutate(구분 = c(rep("공통", 22), rep("확통", 8), rep("미적", 8), rep("기하", 8)) ) %>% 
  mutate(문제 = raw_text) %>% 
  select(구분, 문제) 


problem_tbl %>% 
  mutate(문제 = str_replace(문제, "2023_06_06_", "data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_")) %>% 
  gt::gt() %>% 
    fmt(
      columns = 문제,
      fns = function(x) {
        writeLines(str_replace_all(x, "\\\\\\\\", "\\\\"))
      }
    )

  1. \(\left(\frac{4}{2^{\sqrt{2}}}\right)^{2+\sqrt{2}}\) 의 값은? [2점] (1) \(\frac{1}{4}\) (2) \(\frac{1}{2}\) (3) 1 (4) 2 (5) 4

  2. \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2}+3 x}{x+5}\) 의 값은? [2점] (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5

  3. 공비가 양수인 등비수열 \(\left\{a_{n}\right\}\) 이

\[a_{2}+a_{4}=30, \quad a_{4}+a_{6}=\frac{15}{2}\]

를 만족시킬 때, \(a_{1}\) 의 값은? [3점] (1) 48 (2) 56 (3) 64 (4) 72 (5) 80

  1. 다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를

\[g(x)=x^{2} f(x)\]

라 하자. \(f(2)=1, f^{\prime}(2)=3\) 일 때, \(g^{\prime}(2)\) 의 값은? [3점] (1) 12 (2) 14 (3) 16 (4) 18 (5) 20 5. \(\tan \theta<0\) 이고 \(\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{\sqrt{5}}{5}\) 일 때, \(\cos \theta\) 의 값은? [3점] (1) \(-\frac{2 \sqrt{5}}{5}\) (2) \(-\frac{\sqrt{5}}{5}\) (3) 0 (4) \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) (5) \(\frac{2 \sqrt{5}}{5}\)

  1. 함수 \(f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+a x+5\) 는 \(x=1\) 에서 극대이고, \(x=b\) 에서 극소이다. \(a+b\) 의 값은? (단, \(a, b\) 는 상수이다.) [3점] (1) 12 (2) 14 (3) 16 (4) 18 (5) 20

  2. 모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열 \(\left\{a_{n}\right\}\) 이

\[\sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}=2\]

를 만족시킬 때, \(a_{4}\) 의 값은? [3점] (1) 6 (2) 7 (3) 8 (4) 9 (5) 10

  1. 점 \((0,4)\) 에서 곡선 \(y=x^{3}-x+2\) 에 그은 접선의 \(x\) 절편은? [3점]
  1. \(-\frac{1}{2}\) (2) -1 (3) \(-\frac{3}{2}\) (4) -2 (5) \(-\frac{5}{2}\)
  1. 함수

\[f(x)=a-\sqrt{3} \tan 2 x\]

가 닫힌구간 \(\left[-\frac{\pi}{6}, b\right]\) 에서 최댓값 7 , 최솟값 3 을 가질 때, \(a \times b\) 의 값은? (단, \(a, b\) 는 상수이다.) [4점] (1) \(\frac{\pi}{2}\) (2) \(\frac{5 \pi}{12}\) (3) \(\frac{\pi}{3}\) (4) \(\frac{\pi}{4}\) (5) \(\frac{\pi}{6}\)

  1. 두 곡선 \(y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k\) 와 \(y\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 두 곡선 \(y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k\) 와 직선 \(x=2\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\) 라 하자. \(A=B\) 일 때, 상수 \(k\) 의 값은? (단, \(4<k<5\) ) [4점] (1) \(\frac{25}{6}\) (2) \(\frac{13}{3}\) (3) \(\frac{9}{2}\) (4) \(\frac{14}{3}\) (5) \(\frac{29}{6}\)

::: center image :::

  1. 그림과 같이 사각형 \(\mathrm{ABCD}\) 가 한 원에 내접하고

\[\overline{\mathrm{AB}}=5, \overline{\mathrm{AC}}=3 \sqrt{5}, \overline{\mathrm{AD}}=7, \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}\]

일 때, 이 원의 반지름의 길이는? [4점]

image (1) \(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\) (2) \(\frac{8 \sqrt{5}}{5}\) (3) \(\frac{5 \sqrt{5}}{3}\) (4) \(\frac{8 \sqrt{2}}{3}\) (5) \(\frac{9 \sqrt{3}}{4}\)

  1. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다.

\(n-1 \leq x<n\) 일 때, \(|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|\) 이다. (단, \(n\) 은 자연수이다.)

열린구간 \((0,4)\) 에서 정의된 함수

\[g(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t-\int_{x}^{4} f(t) d t\]

가 \(x=2\) 에서 최솟값 0 을 가질 때, \(\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x) d x\) 의 값은? [4점] (1) \(-\frac{3}{2}\) (2) \(-\frac{1}{2}\) (3) \(\frac{1}{2}\) (4) \(\frac{3}{2}\) (5) \(\frac{5}{2}\) 13. 자연수 \(m(m \geq 2)\) 에 대하여 \(m^{12}\) 의 \(n\) 제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 2 이상의 자연수 \(n\) 의 개수를 \(f(m)\) 이라 할 때, \(\sum_{m=2}^{9} f(m)\) 의 값은? [4점] (1) 37 (2) 42 (3) 47 (4) 52 (5) 57

  1. 다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 다음과 같이 정의한다.

\[g(x)= \begin{cases}x & (x<-1 \text { 또는 } x>1) \ f(x) & (-1 \leq x \leq 1)\end{cases}\]

함수 \(h(x)=\lim _{t \rightarrow 0+} g(x+t) \times \lim _{t \rightarrow 2+} g(x+t)\) 에 대하여

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ᄀ. \(h(1)=3\)

ㄴ. 함수 \(h(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

ㄷ. 함수 \(g(x)\) 가 닫힌구간 \([-1,1]\) 에서 감소하고 \(g(-1)=-2\) 이면 함수 \(h(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다. (1) ᄀ (2) 1 (3) ᄀ, ᄂ (4) ᄀ, ᄃ (5) ᄂ, ᄃ 15. 모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \(\left\{a_{n}\right\}\) 에 대하여 \(a_{9}\) 의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M, m\) 이라 할 때, \(M+m\) 의 값은? [4점]

image (1) 216 (2) 218 (3) 220 (4) 222 (5) 224

# 단답형

  1. 방정식

\[\log _{2}(3 x+2)=2+\log _{2}(x-2)\]

를 만족시키는 실수 \(x\) 의 값을 구하시오. [3점]

  1. 함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f^{\prime}(x)=4 x^{3}-2 x\) 이고 \(f(0)=3\) 일 때, \(f(2)\) 의 값을 구하시오. [3점]
  2. 두 수열 \(\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}\) 에 대하여

\[\sum_{k=1}^{5}\left(3 a_{k}+5\right)=55, \quad \sum_{k=1}^{5}\left(a_{k}+b_{k}\right)=32\]

일 때, \(\sum_{k=1}^{5} b_{k}\) 의 값을 구하시오. [3점]

  1. 방정식 \(2 x^{3}-6 x^{2}+k=0\) 의 서로 다른 양의 실근의 개수가 2 가 되도록 하는 정수 \(k\) 의 개수를 구하시오. [3점]
  2. 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\) 의 시각 \(t(t \geq 0)\) 에서의 속도 \(v(t)\) 와 가속도 \(a(t)\) 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(0 \leq t \leq 2\) 일 때, \(v(t)=2 t^{3}-8 t\) 이다.

(나) \(t \geq 2\) 일 때, \(a(t)=6 t+4\) 이다.

시각 \(t=0\) 에서 \(t=3\) 까지 점 \(\mathrm{P}\) 가 움직인 거리를 구하시오. [4점] 21. 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 를

\[f(x)= \begin{cases}\left|3^{x+2}-n\right| & (x<0) \ \left|\log _{2}(x+4)-n\right| & (x \geq 0)\end{cases}\]

이라 하자. 실수 \(t\) 에 대하여 \(x\) 에 대한 방정식 \(f(x)=t\) 의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\) 라 할 때, 함수 \(g(t)\) 의 최댓값이 4 가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\) 의 값의 합을 구하시오. [4점] 22. 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 \(f(x)\) 와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(4)\) 의 값을 구하시오. [4점]

(가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여

\[f(x)=f(1)+(x-1) f^{\prime}(g(x)) \text { 이다. }\]

(나) 함수 \(g(x)\) 의 최솟값은 \(\frac{5}{2}\) 이다.

(다) \(f(0)=-3, f(g(1))=6\)

# * 확인 사항

○ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.

○ 이어서, 「선택과목(확률과 통계)」 문제가 제시되오니, 자신이 선택한 과목인지 확인하시오.

# 3학년도 대학수학능력시험 문제지 제2교시 수학 영역(확률과 통계) 홀수형

5 지선다형

  1. 다항식 \(\left(x^{3}+3\right)^{5}\) 의 전개식에서 \(x^{9}\) 의 계수는? [2점] (1) 30 (2) 60 (3) 90 (4) 120 (5) 150

  2. 숫자 \(1,2,3,4,5\) 중에서 중복을 허락하여 4 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 4000 이상인 홀수의 개수는? [3점] (1) 125 (2) 150 (3) 175 (4) 200 (5) 225

  3. 흰색 마스크 5 개, 검은색 마스크 9 개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 3 개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 3 개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률은? [3점] (1) \(\frac{8}{13}\) (2) \(\frac{17}{26}\) (3) \(\frac{9}{13}\) (4) \(\frac{19}{26}\) (5) \(\frac{10}{13}\)

  4. 주머니에 1 이 적힌 흰 공 1 개, 2 가 적힌 흰 공 1 개, 1 이 적힌 검은 공 1 개, 2 가 적힌 검은 공 3 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 3 개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 3 개의 공 중에서 흰 공이 1 개이고 검은 공이 2 개인 사건을 \(A\), 꺼낸 3 개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 8 인 사건을 \(B\) 라 할 때, \(\mathrm{P}(A \cup B)\) 의 값은? [3점] (1) \(\frac{11}{20}\) (2) \(\frac{3}{5}\) (3) \(\frac{13}{20}\) (4) \(\frac{7}{10}\) (5) \(\frac{3}{4}\)

::: center image :::

  1. 어느 회사에서 생산하는 샴푸 1 개의 용량은 정규분포 \(\mathrm{N}\left(m, \sigma^{2}\right)\) 을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 16 개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 \(m\) 에 대한 신뢰도 \(95 \%\) 의 신뢰구간이 \(746.1 \leq m \leq 755.9\) 이다.

이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 \(n\) 개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 \(m\) 에 대한 신뢰도 \(99 \%\) 의 신뢰구간이 \(a \leq m \leq b\) 일 때, \(b-a\) 의 값이 6 이하가 되기 위한 자연수 \(n\) 의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 \(\mathrm{mL}\) 이고, \(Z\) 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(\mathrm{P}(|Z| \leq 1.96)=0.95\), \(\mathrm{P}(|Z| \leq 2.58)=0.99\) 로 계산한다.) [3점] (1) 70 (2) 74 (3) 78 (4) 82 (5) 86

  1. 연속확률변수 \(X\) 가 갖는 값의 범위는 \(0 \leq X \leq a\) 이고, \(X\) 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같다.

::: center image :::

\(\mathrm{P}(X \leq b)-\mathrm{P}(X \geq b)=\frac{1}{4}, \mathrm{P}(X \leq \sqrt{5})=\frac{1}{2}\) 일 때, \(a+b+c\) 의 값은? (단, \(a, b, c\) 는 상수이다.) [4점] (1) \(\frac{11}{2}\) (2) 6 (3) \(\frac{13}{2}\) (4) 7 (5) \(\frac{15}{2}\)

# 4 수학 영역(확률과 통계)

홀수형

# 단답형

  1. 앞면에는 1 부터 6 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 0 이 하나씩 적혀 있는 6 장의 카드가 있다. 이 6 장의 카드가 그림과 같이 6 이하의 자연수 \(k\) 에 대하여 \(k\) 번째 자리에 자연수 \(k\) 가 보이도록 놓여 있다.

::: center image :::

이 6 장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 \(k\) 이면

\(k\) 번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다.

위의 시행을 3 번 반복한 후 6 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 1 의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 \(\frac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 30. 집합 \(X=\{x \mid x\) 는 10 이하의 자연수 \(\}\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f: X \rightarrow X\) 의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 9 이하의 모든 자연수 \(x\) 에 대하여 \(f(x) \leq f(x+1)\) 이다.

(나) \(1 \leq x \leq 5\) 일 때 \(f(x) \leq x\) 이고, \(6 \leq x \leq 10\) 일 때 \(f(x) \geq x\) 이다.

(다) \(f(6)=f(5)+6\) \(*\) 확인 사항

○ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.

○ 이어서, 「선택과목(미적분)」 문제가 제시되오니, 자신이 선택한 과목인지 확인하시오. 제 2 교시

# 3학년도 대학수학능력시험 문제지

# 수학 영역(미적분)

홀수형

5지선다형

  1. \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x+4}-2}\) 의 값은? [2점] (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5

  2. \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{3 k}{n}}\) 의 값은? [3점] (1) \(\frac{4}{3}\) (2) \(\frac{13}{9}\) (3) \(\frac{14}{9}\) (4) \(\frac{5}{3}\) (5) \(\frac{16}{9}\)

  3. 등비수열 \(\left\{a_{n}\right\}\) 에 대하여 \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}+1}{3^{n}+2^{2 n-1}}=3\) 일 때, \(a_{2}\) 의 값은? [3점] (1) 16 (2) 18 (3) 20 (4) 22 (5) 24

  4. 그림과 같이 곡선 \(y=\sqrt{\sec ^{2} x+\tan x}\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}\right)\) 와 \(x\) 축, \(y\) 축 및 직선 \(x=\frac{\pi}{3}\) 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\) 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

image (1) \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\ln 2}{2}\) (2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln 2\) (3) \(\sqrt{3}+\frac{\ln 2}{2}\) (4) \(\sqrt{3}+\ln 2\) (5) \(\sqrt{3}+2 \ln 2\)

  1. 그림과 같이 중심이 \(\mathrm{O}\), 반지름의 길이가 1 이고 중심각의 크기가 \(\frac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\mathrm{OA}_{1} \mathrm{~B}_{1}\) 이 있다. 호 \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}\) 위에 점 \(\mathrm{P}_{1}\), 선분 \(\mathrm{OA}_{1}\) 위에 점 \(\mathrm{C}_{1}\), 선분 \(\mathrm{OB}_{1}\) 위에 점 \(\mathrm{D}_{1}\) 을 사각형 \(\mathrm{OC}_{1} \mathrm{P}_{1} \mathrm{D}_{1}\) 이 \(\overline{\mathrm{OC}_{1}}: \overline{\mathrm{OD}_{1}}=3: 4\) 인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 \(\mathrm{OA}_{1} \mathrm{~B}_{1}\) 의 내부에 점 \(\mathrm{Q}_{1}\) 을 \(\overline{\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}}=\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{Q}_{1}}, \angle \mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~A}_{1}=\frac{\pi}{2}\) 가 되도록 잡고, 이등변삼각형 \(\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~A}_{1}\) 에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_{1}\) 이라 하자.

그림 \(R_{1}\) 에서 선분 \(\mathrm{OA}_{1}\) 위의 점 \(\mathrm{A}_{2}\) 와 선분 \(\mathrm{OB}_{1}\) 위의 점 \(\mathrm{B}_{2}\) 를 \(\overline{\mathrm{OQ}_{1}}=\overline{\mathrm{OA}_{2}}=\overline{\mathrm{OB}_{2}}\) 가 되도록 잡고, 중심이 \(\mathrm{O}\), 반지름의 길이가 \(\overline{\mathrm{OQ}_{1}}\), 중심각의 크기가 \(\frac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\mathrm{OA}_{2} \mathrm{~B}_{2}\) 를 그린다. 그림 \(R_{1}\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 \(\mathrm{P}_{2}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{D}_{2}, \mathrm{Q}_{2}\) 를 잡고, 이등변삼각형 \(\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2} \mathrm{~A}_{2}\) 에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_{2}\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림 \(R_{n}\) 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_{n}\) 이라 할 때, \(\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\) 의 값은? [3점] image (1) \(\frac{9}{40}\) (2) \(\frac{1}{4}\) (3) \(\frac{11}{40}\) (4) \(\frac{3}{10}\) (5) \(\frac{13}{40}\)

  1. 그림과 같이 중심이 \(\mathrm{O}\) 이고 길이가 2 인 선분 \(\mathrm{AB}\) 를 지름으로 하는 반원 위에 \(\angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{2}\) 인 점 \(\mathrm{C}\) 가 있다. 호 \(\mathrm{BC}\) 위에 점 \(\mathrm{P}\) 와 호 \(\mathrm{CA}\) 위에 점 \(\mathrm{Q}\) 를 \(\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{QC}}\) 가 되도록 잡고, 선분 \(\mathrm{AP}\) 위에 점 \(\mathrm{R}\) 를 \(\angle \mathrm{CQR}=\frac{\pi}{2}\) 가 되도록 잡는다. 선분 \(\mathrm{AP}\) 와 선분 \(\mathrm{CO}\) 의 교점을 \(\mathrm{S}\) 라 하자. \(\angle \mathrm{PAB}=\theta\) 일 때, 삼각형 \(\mathrm{POB}\) 의 넓이를 \(f(\theta)\), 사각형 \(\mathrm{CQRS}\) 의 넓이를 \(g(\theta)\) 라 하자. \(\lim _{\theta \rightarrow 0+} \frac{3 f(\theta)-2 g(\theta)}{\theta^{2}}\) 의 값은? (단, \(0<\theta<\frac{\pi}{4}\) ) [4점]

image (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5

# 단답형

  1. 세 상수 \(a, b, c\) 에 대하여 함수 \(f(x)=a e^{2 x}+b e^{x}+c\) 가 다음 조건을 만족시킨다.

\[\begin{aligned} & \text { (가) } \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)+6}{e^{x}}=1 \ & \text { (나) } f(\ln 2)=0 \end{aligned}\]

함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(\int_{0}^{14} g(x) d x=p+q \ln 2\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, q\) 는 유리수이고, \(\ln 2\) 는 무리수이다.) [4점] 30. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\) 와 함수 \(g(x)=e^{\sin \pi x}-1\) 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 \(h(x)=g(f(x))\) 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(h(x)\) 는 \(x=0\) 에서 극댓값 0 을 갖는다.

(나) 열린구간 \((0,3)\) 에서 방정식 \(h(x)=1\) 의 서로 다른 실근의 개수는 7 이다.

\(f(3)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(3)=0\) 일 때, \(f(2)=\frac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) [4점] * 확인 사항

○ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.

○ 이어서, 「선택과목(기하)」 문제가 제시되오니, 자신이 선택한 과목인지 확인하시오. 제 2 교시

# 3학년도 대학수학능력시험 문제지

# 수학 영역(기하)

홀수형

# 5 지선다형

  1. 좌표공간의 점 \(\mathrm{A}(2,2,-1)\) 을 \(x\) 축에 대하여 대칭이동한 점을 \(\mathrm{B}\) 라 하자. 점 \(\mathrm{C}(-2,1,1)\) 에 대하여 선분 \(\mathrm{BC}\) 의 길이는?

[2점] (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5

  1. 초점이 \(\mathrm{F}\left(\frac{1}{3}, 0\right)\) 이고 준선이 \(x=-\frac{1}{3}\) 인 포물선이 점 \((a, 2)\) 를 지날 때, \(a\) 의 값은? [3점] (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5

  2. 타원 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) 위의 점 \((2,1)\) 에서의 접선의 기울기가 \(-\frac{1}{2}\) 일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, \(a, b\) 는 양수이다.) [3점] (1) \(2 \sqrt{3}\) (2) 4 (3) \(2 \sqrt{5}\) (4) \(2 \sqrt{6}\) (5) \(2 \sqrt{7}\)

  3. 좌표평면에서 세 벡터

\[\vec{a}=(2,4), \quad \vec{b}=(2,8), \quad \vec{c}=(1,0)\]

에 대하여 두 벡터 \(\vec{p}, \vec{q}\) 가

\[(\vec{p}-\vec{a}) \cdot(\vec{p}-\vec{b})=0, \quad \vec{q}=\frac{1}{2} \vec{a}+t \vec{c}(t \text { 는 실수 })\]

를 만족시킬 때, \(|\vec{p}-\vec{q}|\) 의 최솟값은? [3점] (1) \(\frac{3}{2}\) (2) 2 (3) \(\frac{5}{2}\) (4) 3 (5) \(\frac{7}{2}\) 27. 좌표공간에 직선 \(\mathrm{AB}\) 를 포함하는 평면 \(\alpha\) 가 있다. 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 점 \(\mathrm{C}\) 에 대하여 직선 \(\mathrm{AB}\) 와 직선 \(\mathrm{AC}\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta_{1}\) 이라 할 때 \(\sin \theta_{1}=\frac{4}{5}\) 이고, 직선 \(\mathrm{AC}\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\frac{\pi}{2}-\theta_{1}\) 이다. 평면 \(\mathrm{ABC}\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta_{2}\) 라 할 때, \(\cos \theta_{2}\) 의 값은? [3점] (1) \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) (2) \(\frac{\sqrt{7}}{5}\) (3) \(\frac{\sqrt{7}}{6}\) (4) \(\frac{\sqrt{7}}{7}\) (5) \(\frac{\sqrt{7}}{8}\)

::: center image :::

  1. 두 초점이 \(\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-c, 0)(c>0)\) 인 쌍곡선 \(C\) 와 \(y\) 축 위의 점 \(\mathrm{A}\) 가 있다. 쌍곡선 \(C\) 가 선분 \(\mathrm{AF}\) 와 만나는 점을 \(\mathrm{P}\), 선분 \(\mathrm{AF}^{\prime}\) 과 만나는 점을 \(\mathrm{P}^{\prime}\) 이라 하자.

직선 \(\mathrm{AF}\) 는 쌍곡선 \(C\) 의 한 점근선과 평행하고

\[\overline{\mathrm{AP}}: \overline{\mathrm{PP}^{\prime}}=5: 6, \quad \overline{\mathrm{PF}}=1\]

일 때, 쌍곡선 \(C\) 의 주축의 길이는? [4점] (1) \(\frac{13}{6}\) (2) \(\frac{9}{4}\) (3) \(\frac{7}{3}\) (4) \(\frac{29}{12}\) (5) \(\frac{5}{2}\)

::: center image :::

# 4 수학 영역(기하)

홀수형

# 단답 형

  1. 평면 \(\alpha\) 위에 \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AD}}=2, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}=\frac{\pi}{3}\) 인 사다리꼴 \(\mathrm{ABCD}\) 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 \(\alpha\) 위의 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DQ}}\) 의 값을 구하시오. [4점] (가) \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}})\) (나) \(\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=6\) (다) \(2 \times \angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{PBQ}<\frac{\pi}{2}\)

::: center image :::

  1. 좌표공간에 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\) 가 있다. 정삼각형 \(\mathrm{BCD}\) 의 외심을 중심으로 하고 점 \(\mathrm{B}\) 를 지나는 구를 \(S\) 라 하자. 구 \(S\) 와 선분 \(\mathrm{AB}\) 가 만나는 점 중 \(\mathrm{B}\) 가 아닌 점을 \(\mathrm{P}\), 구 \(S\) 와 선분 \(\mathrm{AC}\) 가 만나는 점 중 \(\mathrm{C}\) 가 아닌 점을 \(\mathrm{Q}\), 구 \(S\) 와 선분 \(\mathrm{AD}\) 가 만나는 점 중 \(\mathrm{D}\) 가 아닌 점을 \(\mathrm{R}\) 라 하고, 점 \(\mathrm{P}\) 에서 구 \(S\) 에 접하는 평면을 \(\alpha\) 라 하자. 구 \(S\) 의 반지름의 길이가 6 일 때, 삼각형 \(\mathrm{PQR}\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이는 \(k\) 이다. \(k^{2}\) 의 값을 구하시오. [4점]

::: center image :::

  • 확인 사항

○ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.

# 3학년도 대학수학능력시험 문제지

제 2 교시

# 수하 영여

구분 문제
공통 1. $\left(\frac{4}{2^{\sqrt{2}}}\right)^{2+\sqrt{2}}$ 의 값은? \[2점\] (1) $\frac{1}{4}$ (2) $\frac{1}{2}$ (3) 1 (4) 2 (5) 4
공통 2. $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2}+3 x}{x+5}$ 의 값은? \[2점\] (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
공통 3. 공비가 양수인 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 이 $$a_{2}+a_{4}=30, \quad a_{4}+a_{6}=\frac{15}{2}$$ 를 만족시킬 때, $a_{1}$ 의 값은? \[3점\] (1) 48 (2) 56 (3) 64 (4) 72 (5) 80
공통 4. 다항함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=x^{2} f(x)$$ 라 하자. $f(2)=1, f^{\prime}(2)=3$ 일 때, $g^{\prime}(2)$ 의 값은? \[3점\] (1) 12 (2) 14 (3) 16 (4) 18 (5) 20
공통 5. $\tan \theta<0$ 이고 $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 일 때, $\cos \theta$ 의 값은? \[3점\] (1) $-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ (2) $-\frac{\sqrt{5}}{5}$ (3) 0 (4) $\frac{\sqrt{5}}{5}$ (5) $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
공통 6. 함수 $f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+a x+5$ 는 $x=1$ 에서 극대이고, $x=b$ 에서 극소이다. $a+b$ 의 값은? (단, $a, b$ 는 상수이다.) \[3점\] (1) 12 (2) 14 (3) 16 (4) 18 (5) 20
공통 7. 모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 이 $$\sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}=2$$ 를 만족시킬 때, $a_{4}$ 의 값은? \[3점\] (1) 6 (2) 7 (3) 8 (4) 9 (5) 10
공통 8. 점 $(0,4)$ 에서 곡선 $y=x^{3}-x+2$ 에 그은 접선의 $x$ 절편은? \[3점\] (1) $-\frac{1}{2}$ (2) -1 (3) $-\frac{3}{2}$ (4) -2 (5) $-\frac{5}{2}$
공통 9. 함수 $$f(x)=a-\sqrt{3} \tan 2 x$$ 가 닫힌구간 $\left[-\frac{\pi}{6}, b\right]$ 에서 최댓값 7 , 최솟값 3 을 가질 때, $a \times b$ 의 값은? (단, $a, b$ 는 상수이다.) \[4점\] (1) $\frac{\pi}{2}$ (2) $\frac{5 \pi}{12}$ (3) $\frac{\pi}{3}$ (4) $\frac{\pi}{4}$ (5) $\frac{\pi}{6}$
공통 10. 두 곡선 $y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k$ 와 $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 두 곡선 $y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k$ 와 직선 $x=2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$ 라 하자. $A=B$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $4<k<5$ ) \[4점\] (1) $\frac{25}{6}$ (2) $\frac{13}{3}$ (3) $\frac{9}{2}$ (4) $\frac{14}{3}$ (5) $\frac{29}{6}$ ::: center ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-03){width="\\textwidth"} :::
공통 11. 그림과 같이 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 한 원에 내접하고 $$\overline{\mathrm{AB}}=5, \overline{\mathrm{AC}}=3 \sqrt{5}, \overline{\mathrm{AD}}=7, \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}$$ 일 때, 이 원의 반지름의 길이는? \[4점\] ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-04){width="\\textwidth"} (1) $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ (2) $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ (3) $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ (4) $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ (5) $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$
공통 12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $n-1 \leq x<n$ 일 때, $|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|$ 이다. (단, $n$ 은 자연수이다.) 열린구간 $(0,4)$ 에서 정의된 함수 $$g(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t-\int_{x}^{4} f(t) d t$$ 가 $x=2$ 에서 최솟값 0 을 가질 때, $\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x) d x$ 의 값은? \[4점\] (1) $-\frac{3}{2}$ (2) $-\frac{1}{2}$ (3) $\frac{1}{2}$ (4) $\frac{3}{2}$ (5) $\frac{5}{2}$
공통 13. 자연수 $m(m \geq 2)$ 에 대하여 $m^{12}$ 의 $n$ 제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 2 이상의 자연수 $n$ 의 개수를 $f(m)$ 이라 할 때, $\sum_{m=2}^{9} f(m)$ 의 값은? \[4점\] (1) 37 (2) 42 (3) 47 (4) 52 (5) 57
공통 14. 다항함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $$g(x)= \begin{cases}x & (x<-1 \text { 또는 } x>1) \\ f(x) & (-1 \leq x \leq 1)\end{cases}$$ 함수 $h(x)=\lim _{t \rightarrow 0+} g(x+t) \times \lim _{t \rightarrow 2+} g(x+t)$ 에 대하여 \<보기\>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? \[4점\] ᄀ. $h(1)=3$ ㄴ. 함수 $h(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 함수 $g(x)$ 가 닫힌구간 $[-1,1]$ 에서 감소하고 $g(-1)=-2$ 이면 함수 $h(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다. (1) ᄀ (2) 1 (3) ᄀ, ᄂ (4) ᄀ, ᄃ (5) ᄂ, ᄃ
공통 15. 모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 에 대하여 $a_{9}$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은? \[4점\] ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-06){width="\\textwidth"} (1) 216 (2) 218 (3) 220 (4) 222 (5) 224 # 단답형
공통 16. 방정식 $$\log _{2}(3 x+2)=2+\log _{2}(x-2)$$ 를 만족시키는 실수 $x$ 의 값을 구하시오. \[3점\]
공통 17. 함수 $f(x)$ 에 대하여 $f^{\prime}(x)=4 x^{3}-2 x$ 이고 $f(0)=3$ 일 때, $f(2)$ 의 값을 구하시오. \[3점\]
공통 18. 두 수열 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 에 대하여 $$\sum_{k=1}^{5}\left(3 a_{k}+5\right)=55, \quad \sum_{k=1}^{5}\left(a_{k}+b_{k}\right)=32$$ 일 때, $\sum_{k=1}^{5} b_{k}$ 의 값을 구하시오. \[3점\]
공통 19. 방정식 $2 x^{3}-6 x^{2}+k=0$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수가 2 가 되도록 하는 정수 $k$ 의 개수를 구하시오. \[3점\]
공통 20. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t(t \geq 0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 와 가속도 $a(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0 \leq t \leq 2$ 일 때, $v(t)=2 t^{3}-8 t$ 이다. (나) $t \geq 2$ 일 때, $a(t)=6 t+4$ 이다. 시각 $t=0$ 에서 $t=3$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하시오. \[4점\]
공통 21. 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)= \begin{cases}\left|3^{x+2}-n\right| & (x<0) \\ \left|\log _{2}(x+4)-n\right| & (x \geq 0)\end{cases}$$ 이라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=t$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 의 최댓값이 4 가 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. \[4점\]
공통 22. 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$ 의 값을 구하시오. \[4점\] (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f(x)=f(1)+(x-1) f^{\prime}(g(x)) \text { 이다. }$$ (나) 함수 $g(x)$ 의 최솟값은 $\frac{5}{2}$ 이다. (다) $f(0)=-3, f(g(1))=6$ # \* 확인 사항 ○ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. ○ 이어서, 「선택과목(확률과 통계)」 문제가 제시되오니, 자신이 선택한 과목인지 확인하시오. # 3학년도 대학수학능력시험 문제지 제2교시 수학 영역(확률과 통계) 홀수형 5 지선다형
확통 23. 다항식 $\left(x^{3}+3\right)^{5}$ 의 전개식에서 $x^{9}$ 의 계수는? \[2점\] (1) 30 (2) 60 (3) 90 (4) 120 (5) 150
확통 24. 숫자 $1,2,3,4,5$ 중에서 중복을 허락하여 4 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 4000 이상인 홀수의 개수는? \[3점\] (1) 125 (2) 150 (3) 175 (4) 200 (5) 225
확통 25. 흰색 마스크 5 개, 검은색 마스크 9 개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 3 개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 3 개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률은? \[3점\] (1) $\frac{8}{13}$ (2) $\frac{17}{26}$ (3) $\frac{9}{13}$ (4) $\frac{19}{26}$ (5) $\frac{10}{13}$
확통 25. 주머니에 1 이 적힌 흰 공 1 개, 2 가 적힌 흰 공 1 개, 1 이 적힌 검은 공 1 개, 2 가 적힌 검은 공 3 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 3 개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 3 개의 공 중에서 흰 공이 1 개이고 검은 공이 2 개인 사건을 $A$, 꺼낸 3 개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 8 인 사건을 $B$ 라 할 때, $\mathrm{P}(A \cup B)$ 의 값은? \[3점\] (1) $\frac{11}{20}$ (2) $\frac{3}{5}$ (3) $\frac{13}{20}$ (4) $\frac{7}{10}$ (5) $\frac{3}{4}$ ::: center ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-10){width="\\textwidth"} :::
확통 27. 어느 회사에서 생산하는 샴푸 1 개의 용량은 정규분포 $\mathrm{N}\left(m, \sigma^{2}\right)$ 을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 16 개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 $m$ 에 대한 신뢰도 $95 \%$ 의 신뢰구간이 $746.1 \leq m \leq 755.9$ 이다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $n$ 개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 $m$ 에 대한 신뢰도 $99 \%$ 의 신뢰구간이 $a \leq m \leq b$ 일 때, $b-a$ 의 값이 6 이하가 되기 위한 자연수 $n$ 의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 $\mathrm{mL}$ 이고, $Z$ 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(|Z| \leq 1.96)=0.95$, $\mathrm{P}(|Z| \leq 2.58)=0.99$ 로 계산한다.) \[3점\] (1) 70 (2) 74 (3) 78 (4) 82 (5) 86
확통 28. 연속확률변수 $X$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \leq X \leq a$ 이고, $X$ 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같다. ::: center ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-11){width="\\textwidth"} ::: $\mathrm{P}(X \leq b)-\mathrm{P}(X \geq b)=\frac{1}{4}, \mathrm{P}(X \leq \sqrt{5})=\frac{1}{2}$ 일 때, $a+b+c$ 의 값은? (단, $a, b, c$ 는 상수이다.) \[4점\] (1) $\frac{11}{2}$ (2) 6 (3) $\frac{13}{2}$ (4) 7 (5) $\frac{15}{2}$ # 4 수학 영역(확률과 통계) 홀수형 # 단답형
확통 29. 앞면에는 1 부터 6 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 0 이 하나씩 적혀 있는 6 장의 카드가 있다. 이 6 장의 카드가 그림과 같이 6 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 $k$ 번째 자리에 자연수 $k$ 가 보이도록 놓여 있다. ::: center ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-12){width="\\textwidth"} ::: 이 6 장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$ 이면 $k$ 번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다. 위의 시행을 3 번 반복한 후 6 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 1 의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 $\frac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
확통 30. 집합 $X=\{x \mid x$ 는 10 이하의 자연수 $\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \rightarrow X$ 의 개수를 구하시오. \[4점\] (가) 9 이하의 모든 자연수 $x$ 에 대하여 $f(x) \leq f(x+1)$ 이다. (나) $1 \leq x \leq 5$ 일 때 $f(x) \leq x$ 이고, $6 \leq x \leq 10$ 일 때 $f(x) \geq x$ 이다. (다) $f(6)=f(5)+6$ $*$ 확인 사항 ○ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. ○ 이어서, 「선택과목(미적분)」 문제가 제시되오니, 자신이 선택한 과목인지 확인하시오. 제 2 교시 # 3학년도 대학수학능력시험 문제지 # 수학 영역(미적분) 홀수형 5지선다형
미적 23. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x+4}-2}$ 의 값은? \[2점\] (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
미적 24. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{3 k}{n}}$ 의 값은? \[3점\] (1) $\frac{4}{3}$ (2) $\frac{13}{9}$ (3) $\frac{14}{9}$ (4) $\frac{5}{3}$ (5) $\frac{16}{9}$
미적 25. 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 에 대하여 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}+1}{3^{n}+2^{2 n-1}}=3$ 일 때, $a_{2}$ 의 값은? \[3점\] (1) 16 (2) 18 (3) 20 (4) 22 (5) 24
미적 25. 그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\sec ^{2} x+\tan x}\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}\right)$ 와 $x$ 축, $y$ 축 및 직선 $x=\frac{\pi}{3}$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? \[3점\] ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-14){width="\\textwidth"} (1) $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\ln 2}{2}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln 2$ (3) $\sqrt{3}+\frac{\ln 2}{2}$ (4) $\sqrt{3}+\ln 2$ (5) $\sqrt{3}+2 \ln 2$
미적 27. 그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 1 이고 중심각의 크기가 $\frac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\mathrm{OA}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 이 있다. 호 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 위에 점 $\mathrm{P}_{1}$, 선분 $\mathrm{OA}_{1}$ 위에 점 $\mathrm{C}_{1}$, 선분 $\mathrm{OB}_{1}$ 위에 점 $\mathrm{D}_{1}$ 을 사각형 $\mathrm{OC}_{1} \mathrm{P}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 이 $\overline{\mathrm{OC}_{1}}: \overline{\mathrm{OD}_{1}}=3: 4$ 인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 $\mathrm{OA}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 의 내부에 점 $\mathrm{Q}_{1}$ 을 $\overline{\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}}=\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{Q}_{1}}, \angle \mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~A}_{1}=\frac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡고, 이등변삼각형 $\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_{1}$ 이라 하자. 그림 $R_{1}$ 에서 선분 $\mathrm{OA}_{1}$ 위의 점 $\mathrm{A}_{2}$ 와 선분 $\mathrm{OB}_{1}$ 위의 점 $\mathrm{B}_{2}$ 를 $\overline{\mathrm{OQ}_{1}}=\overline{\mathrm{OA}_{2}}=\overline{\mathrm{OB}_{2}}$ 가 되도록 잡고, 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{OQ}_{1}}$, 중심각의 크기가 $\frac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\mathrm{OA}_{2} \mathrm{~B}_{2}$ 를 그린다. 그림 $R_{1}$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 $\mathrm{P}_{2}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{D}_{2}, \mathrm{Q}_{2}$ 를 잡고, 이등변삼각형 $\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2} \mathrm{~A}_{2}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_{2}$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_{n}$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_{n}$ 이라 할 때, $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ 의 값은? \[3점\] ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-15(1)){width="\\textwidth"} (1) $\frac{9}{40}$ (2) $\frac{1}{4}$ (3) $\frac{11}{40}$ (4) $\frac{3}{10}$ (5) $\frac{13}{40}$
미적 28. 그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 길이가 2 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 반원 위에 $\angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{2}$ 인 점 $\mathrm{C}$ 가 있다. 호 $\mathrm{BC}$ 위에 점 $\mathrm{P}$ 와 호 $\mathrm{CA}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{QC}}$ 가 되도록 잡고, 선분 $\mathrm{AP}$ 위에 점 $\mathrm{R}$ 를 $\angle \mathrm{CQR}=\frac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡는다. 선분 $\mathrm{AP}$ 와 선분 $\mathrm{CO}$ 의 교점을 $\mathrm{S}$ 라 하자. $\angle \mathrm{PAB}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{POB}$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 사각형 $\mathrm{CQRS}$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim _{\theta \rightarrow 0+} \frac{3 f(\theta)-2 g(\theta)}{\theta^{2}}$ 의 값은? (단, $0<\theta<\frac{\pi}{4}$ ) \[4점\] ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-15){width="\\textwidth"} (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5 # 단답형
미적 29. 세 상수 $a, b, c$ 에 대하여 함수 $f(x)=a e^{2 x}+b e^{x}+c$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $$\begin{aligned} & \text { (가) } \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)+6}{e^{x}}=1 \\ & \text { (나) } f(\ln 2)=0 \end{aligned}$$ 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $\int_{0}^{14} g(x) d x=p+q \ln 2$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, q$ 는 유리수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.) \[4점\]
미적 30. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=e^{\sin \pi x}-1$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x)=g(f(x))$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값 0 을 갖는다. (나) 열린구간 $(0,3)$ 에서 방정식 $h(x)=1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 7 이다. $f(3)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(3)=0$ 일 때, $f(2)=\frac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) \[4점\] \* 확인 사항 ○ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. ○ 이어서, 「선택과목(기하)」 문제가 제시되오니, 자신이 선택한 과목인지 확인하시오. 제 2 교시 # 3학년도 대학수학능력시험 문제지 # 수학 영역(기하) 홀수형 # 5 지선다형
기하 23. 좌표공간의 점 $\mathrm{A}(2,2,-1)$ 을 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}(-2,1,1)$ 에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$ 의 길이는? \[2점\] (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
기하 24. 초점이 $\mathrm{F}\left(\frac{1}{3}, 0\right)$ 이고 준선이 $x=-\frac{1}{3}$ 인 포물선이 점 $(a, 2)$ 를 지날 때, $a$ 의 값은? \[3점\] (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
기하 25. 타원 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 위의 점 $(2,1)$ 에서의 접선의 기울기가 $-\frac{1}{2}$ 일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a, b$ 는 양수이다.) \[3점\] (1) $2 \sqrt{3}$ (2) 4 (3) $2 \sqrt{5}$ (4) $2 \sqrt{6}$ (5) $2 \sqrt{7}$
기하 25. 좌표평면에서 세 벡터 $$\vec{a}=(2,4), \quad \vec{b}=(2,8), \quad \vec{c}=(1,0)$$ 에 대하여 두 벡터 $\vec{p}, \vec{q}$ 가 $$(\vec{p}-\vec{a}) \cdot(\vec{p}-\vec{b})=0, \quad \vec{q}=\frac{1}{2} \vec{a}+t \vec{c}(t \text { 는 실수 })$$ 를 만족시킬 때, $|\vec{p}-\vec{q}|$ 의 최솟값은? \[3점\] (1) $\frac{3}{2}$ (2) 2 (3) $\frac{5}{2}$ (4) 3 (5) $\frac{7}{2}$
기하 27. 좌표공간에 직선 $\mathrm{AB}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{C}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{AB}$ 와 직선 $\mathrm{AC}$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta_{1}$ 이라 할 때 $\sin \theta_{1}=\frac{4}{5}$ 이고, 직선 $\mathrm{AC}$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기는 $\frac{\pi}{2}-\theta_{1}$ 이다. 평면 $\mathrm{ABC}$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta_{2}$ 라 할 때, $\cos \theta_{2}$ 의 값은? \[3점\] (1) $\frac{\sqrt{7}}{4}$ (2) $\frac{\sqrt{7}}{5}$ (3) $\frac{\sqrt{7}}{6}$ (4) $\frac{\sqrt{7}}{7}$ (5) $\frac{\sqrt{7}}{8}$ ::: center ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-19(1)){width="\\textwidth"} :::
기하 28. 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-c, 0)(c>0)$ 인 쌍곡선 $C$ 와 $y$ 축 위의 점 $\mathrm{A}$ 가 있다. 쌍곡선 $C$ 가 선분 $\mathrm{AF}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{AF}^{\prime}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{P}^{\prime}$ 이라 하자. 직선 $\mathrm{AF}$ 는 쌍곡선 $C$ 의 한 점근선과 평행하고 $$\overline{\mathrm{AP}}: \overline{\mathrm{PP}^{\prime}}=5: 6, \quad \overline{\mathrm{PF}}=1$$ 일 때, 쌍곡선 $C$ 의 주축의 길이는? \[4점\] (1) $\frac{13}{6}$ (2) $\frac{9}{4}$ (3) $\frac{7}{3}$ (4) $\frac{29}{12}$ (5) $\frac{5}{2}$ ::: center ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-19){width="\\textwidth"} ::: # 4 수학 영역(기하) 홀수형 # 단답 형
기하 29. 평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AD}}=2, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}=\frac{\pi}{3}$ 인 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 위의 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DQ}}$ 의 값을 구하시오. \[4점\] (가) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}})$ (나) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=6$ (다) $2 \times \angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{PBQ}<\frac{\pi}{2}$ ::: center ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-20){width="\\textwidth"} :::
기하 30. 좌표공간에 정사면체 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 정삼각형 $\mathrm{BCD}$ 의 외심을 중심으로 하고 점 $\mathrm{B}$ 를 지나는 구를 $S$ 라 하자. 구 $S$ 와 선분 $\mathrm{AB}$ 가 만나는 점 중 $\mathrm{B}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$, 구 $S$ 와 선분 $\mathrm{AC}$ 가 만나는 점 중 $\mathrm{C}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$, 구 $S$ 와 선분 $\mathrm{AD}$ 가 만나는 점 중 $\mathrm{D}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{R}$ 라 하고, 점 $\mathrm{P}$ 에서 구 $S$ 에 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S$ 의 반지름의 길이가 6 일 때, 삼각형 $\mathrm{PQR}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$ 이다. $k^{2}$ 의 값을 구하시오. \[4점\] ::: center ![image](data/math/2교시_수학영역_문제지/images/2023_06_06_b380aa8523ec7afae994g-20(1)){width="\\textwidth"} ::: - 확인 사항 ○ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. # 3학년도 대학수학능력시험 문제지 제 2 교시 # 수하 영여