1 정답

2023년 2교시 수학영역 정답표 홀수형을 텍스트 형태로 추출해낸다.

Code

library(tidyverse)
library(pdftools)
library(gt)
library(gtExtras)
library(patchwork)

answer_raw <- pdf_text("data/PDF/2교시_수학영역_정답표_홀수형.pdf")

## 1. 텍스트 정제
answer <- answer_raw %>% 
  str_split(pattern = "\n\n", simplify = FALSE) %>% .[[1]] %>% 
  str_trim() 

## 2. 데이터프레임 변환
answer_df <- answer[5:length(answer)] %>% 
  str_split(pattern = "\\s+", simplify = TRUE) %>% 
  as.data.frame()  %>% 
  janitor::clean_names()

## 3. 항목 구분
### 3.1. 공통
answer_common01_df <- answer_df %>% 
  select(v1, v2, v3) %>% 
  mutate(구분 = "공통") %>% 
  select(구분, 문항번호=v1, 정답=v2, 배점=v3)

answer_common02_df <- answer_df %>% 
  select(v4, v5, v6) %>% 
  mutate(구분 = "공통") %>% 
  select(구분, 문항번호=v4, 정답=v5, 배점=v6)

answer_common_df <- bind_rows(answer_common01_df, answer_common02_df)

### 3.2. 확률통계
answer_prob_df <- answer_df %>% 
  select(v7, v8, v9) %>% 
  mutate(구분 = "확률과 통계") %>% 
  select(구분, 문항번호=v7, 정답=v8, 배점=v9)

### 3.3. 미적분
answer_calculus_df <- answer_df %>% 
  select(v10, v11, v12) %>% 
  mutate(구분 = "미적분") %>% 
  select(구분, 문항번호=v10, 정답=v11, 배점=v12)

### 3.4. 기하
answer_geometry_df <- answer_df %>% 
  select(v13, v14, v15) %>% 
  mutate(구분 = "기하") %>% 
  select(구분, 문항번호=v13, 정답=v14, 배점=v15)

## 4. 정답 결합

answer_tbl <- bind_rows(answer_common_df, answer_prob_df) %>% 
  bind_rows(answer_calculus_df) %>% 
  bind_rows(answer_geometry_df) %>% 
  filter(문항번호 != "") %>% 
  mutate(정답 = case_when(정답 == "①"  ~  "1",
                          정답 == "②"  ~  "2",
                          정답 == "③"  ~  "3",
                          정답 == "④"  ~  "4",
                          정답 == "⑤"  ~  "5",
                          TRUE ~ 정답)) %>% 
  as_tibble() %>% 
  mutate_at(vars(문항번호, 정답, 배점), as.numeric)

# answer_tbl %>% 
#   write_csv("data/sat_math_2023_odd.csv")

common_gt <- answer_tbl %>% 
  filter(구분 == "공통") %>% 
  gt::gt() %>% 
    gt_theme_pff()

calculus_gt <- answer_tbl %>% 
  filter(구분 == "미적분") %>% 
  gt::gt()  %>% 
    gt_theme_pff()

probstat_gt <- answer_tbl %>% 
  filter(구분 == "확률과 통계") %>% 
  gt::gt()  %>% 
    gt_theme_pff()


geometry_gt <- answer_tbl %>% 
  filter(구분 == "기하") %>% 
  gt::gt()  %>% 
    gt_theme_pff()

tmp <- tempfile(fileext = '.png') #generate path to temp .png file
gtsave(common_gt, tmp) #save gt table as png
common_gt_png <- png::readPNG(tmp, native = TRUE) # read tmp png file

tmp <- tempfile(fileext = '.png') #generate path to temp .png file
gtsave(calculus_gt, tmp) #save gt table as png
calculus_gt_png <- png::readPNG(tmp, native = TRUE) # read tmp png file

tmp <- tempfile(fileext = '.png') #generate path to temp .png file
gtsave(probstat_gt, tmp) #save gt table as png
probstat_gt_png <- png::readPNG(tmp, native = TRUE) # read tmp png file

tmp <- tempfile(fileext = '.png') #generate path to temp .png file
gtsave(geometry_gt, tmp) #save gt table as png
geometry_gt_png <- png::readPNG(tmp, native = TRUE) # read tmp png file

layout <- "
AABBCCDDEE
AABBCCDDEE
"
(ggplot() + theme_void()) + common_gt_png + calculus_gt_png + 
  probstat_gt_png + geometry_gt_png +
  plot_layout(design = layout)

2 $\LaTeX$ 문제

PDF 파일에서 수능문제를 $\LaTeX$ 텍스트로 변환시킨다. MathPix PDFs에 PDF 파일을 올려 .tex 파일로 변환시킨다.

Code

md_raw <- read_lines("data/PDF/2교시_수학영역_문제지_홀수형.md")

# ![] 이미지 | \\section \\title 시작 삭제
image_mask <- !str_detect(md_raw, pattern = "\\!\\[\\]|\\\\section|\\\\title|홀수형|(2023학년도 대학수학능력시험 문제지)|(제 2 교시)|5지선다형|(\\* 확인 사항)|(- 답안지의 해당란에 필요한 내용을)|(답안지의 해당란에 필요한)|(5 지선다형)|(○ 이어서)" )

md_text <- md_raw[image_mask]

md_txt <- str_c(md_text, collapse = " ")

md_csv <- str_extract_all(md_txt, pattern = "(?<=\\d{1,2}\\.)(.*?)(?=\\d{1,2}\\.)")[[1]]
  
md_tbl <- md_csv %>% 
  enframe(name = "문항번호", value = "문제") %>% 
  mutate(문제 = str_remove(문제, "\\[\\d+점\\]")) %>% 
  mutate(문제 = str_remove(문제, "\\(1\\).*$") %>% str_squish(.)) %>% 
  mutate(문자수 = str_length(문제)) %>% 
  filter(문자수 > 20) %>% 
  select(-문자수)
  
md_tbl %>% 
  slice(-22) %>% 
  knitr::kable(escape = FALSE)

문항번호	문제
1	$\left(\frac{4}{2^{\sqrt{2}}}\right)^{2+\sqrt{2}}$ 의 값은?
2	$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2}+3 x}{x+5}$ 의 값은?
3	공비가 양수인 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 이 \[ a_{2}+a_{4}=30, \quad a_{4}+a_{6}=\frac{15}{2} \] 를 만족시킬 때, $a_{1}$ 의 값은?
4	다항함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 \[ g(x)=x^{2} f(x) \] 라 하자. $f(2)=1, f^{\prime}(2)=3$ 일 때, $g^{\prime}(2)$ 의 값은?
5	$\tan \theta<0$ 이고 $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 일 때, $\cos \theta$ 의 값은?
6	함수 $f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+a x+5$ 는 $x=1$ 에서 극대이고, $x=b$ 에서 극소이다. $a+b$ 의 값은? (단, $a, b$ 는 상수이다.)
7	모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 이 \[ \sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}=2 \] 를 만족시킬 때, $a_{4}$ 의 값은?
8	점 $(0,4)$ 에서 곡선 $y=x^{3}-x+2$ 에 그은 접선의 $x$ 절편은?
9	함수 \[ f(x)=a-\sqrt{3} \tan 2 x \] 가 닫힌구간 $\left[-\frac{\pi}{6}, b\right]$ 에서 최댓값 7 , 최솟값 3 을 가질 때, $a \times b$ 의 값은? (단, $a, b$ 는 상수이다.)
10	두 곡선 $y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k$ 와 $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 두 곡선 $y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k$ 와 직선 $x=2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$ 라 하자. $A=B$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $4<k<5$ )
11	그림과 같이 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 한 원에 내접하고 \[ \overline{\mathrm{AB}}=5, \overline{\mathrm{AC}}=3 \sqrt{5}, \overline{\mathrm{AD}}=7, \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD} \] 일 때, 이 원의 반지름의 길이는?
12	실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $n-1 \leq x<n$ 일 때, $\|f(x)\|=\|6(x-n+1)(x-n)\|$ 이다. (단, $n$ 은 자연수이다.) 열린구간 $(0,4)$ 에서 정의된 함수 \[ g(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t-\int_{x}^{4} f(t) d t \] 가 $x=2$ 에서 최솟값 0 을 가질 때, $\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x) d x$ 의 값은?
13	자연수 $m(m \geq 2)$ 에 대하여 $m^{12}$ 의 $n$ 제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 2 이상의 자연수 $n$ 의 개수를 $f(m)$ 이라 할 때, $\sum_{m=2}^{9} f(m)$ 의 값은?
14	다항함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. \[ g(x)= \begin{cases}x & (x<-1 \text { 또는 } x>1) \\ f(x) & (-1 \leq x \leq 1)\end{cases} \] 함수 $h(x)=\lim _{t \rightarrow 0+} g(x+t) \times \lim _{t \rightarrow 2+} g(x+t)$ 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $h
15	모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 에 대하여 $a_{9}$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은?
16	방정식 \[ \log _{2}(3 x+2)=2+\log _{2}(x-2) \] 를 만족시키는 실수 $x$ 의 값을 구하시오.
17	함수 $f(x)$ 에 대하여 $f^{\prime}(x)=4 x^{3}-2 x$ 이고 $f(0)=3$ 일 때, $f(2)$ 의 값을 구하시오.
18	두 수열 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 에 대하여 \[ \sum_{k=1}^{5}\left(3 a_{k}+5\right)=55, \quad \sum_{k=1}^{5}\left(a_{k}+b_{k}\right)=32 \] 일 때, $\sum_{k=1}^{5} b_{k}$ 의 값을 구하시오.
19	방정식 $2 x^{3}-6 x^{2}+k=0$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수가 2 가 되도록 하는 정수 $k$ 의 개수를 구하시오.
20	수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t(t \geq 0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 와 가속도 $a(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0 \leq t \leq 2$ 일 때, $v(t)=2 t^{3}-8 t$ 이다. (나) $t \geq 2$ 일 때, $a(t)=6 t+4$ 이다. 시각 $t=0$ 에서 $t=3$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하시오.
21	자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 \[ f(x)= \begin{cases}\left\|3^{x+2}-n\right\| & (x<0) \\ \left\|\log _{2}(x+4)-n\right\| & (x \geq 0)\end{cases} \] 이라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=t$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 의 최댓값이 4 가 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오.
23	다항식 $\left(x^{3}+3\right)^{5}$ 의 전개식에서 $x^{9}$ 의 계수는?
24	숫자 $1,2,3,4,5$ 중에서 중복을 허락하여 4 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 4000 이상인 홀수의 개수는?
25	흰색 마스크 5 개, 검은색 마스크 9 개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 3 개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 3 개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률은?
26	주머니에 1 이 적힌 흰 공 1 개, 2 가 적힌 흰 공 1 개, 1 이 적힌 검은 공 1 개, 2 가 적힌 검은 공 3 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 3 개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 3 개의 공 중에서 흰 공이 1 개이고 검은 공이 2 개인 사건을 $A$, 꺼낸 3 개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 8 인 사건을 $B$ 라 할 때, $\mathrm{P}(A \cup B)$ 의 값은?
27	어느 회사에서 생산하는 샴푸 1 개의 용량은 정규분포 $\mathrm{N}\left(m, \sigma^{2}\right)$ 을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 16 개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 $m$ 에 대한 신뢰도 $95 \%$ 의 신뢰구간이 $7 \| \| 29\|9$ 이다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $n$ 개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 $m$ 에 대한 신뢰도 $99 \%$ 의 신뢰구간이 $a \leq m \leq b$ 일 때, $b-a$ 의 값이 6 이하가 되기 위한 자연수 $n$ 의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 $\mathrm{mL}$ 이고, $Z$ 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(\|Z\| \leq \| \| 31\|95$, $(\|Z\|
34	연속확률변수 $X$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \leq X \leq a$ 이고, $X$ 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같다. $\mathrm{P}(X \leq b)-\mathrm{P}(X \geq b)=\frac{1}{4}, \mathrm{P}(X \leq \sqrt{5})=\frac{1}{2}$ 일 때, $a+b+c$ 의 값은? (단, $a, b, c$ 는 상수이다.)
35	앞면에는 1 부터 6 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 0 이 하나씩 적혀 있는 6 장의 카드가 있다. 이 6 장의 카드가 그림과 같이 6 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 $k$ 번째 자리에 자연수 $k$ 가 보이도록 놓여 있다. 이 6 장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$ 이면 $k$ 번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다. 위의 시행을 3 번 반복한 후 6 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 1 의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 $\frac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
36	집합 $X=\{x \mid x$ 는 10 이하의 자연수 $\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \rightarrow X$ 의 개수를 구하시오. (가) 9 이하의 모든 자연수 $x$ 에 대하여 $f(x) \leq f(x+1)$ 이다. (나) $1 \leq x \leq 5$ 일 때 $f(x) \leq x$ 이고, $6 \leq x \leq 10$ 일 때 $f(x) \geq x$ 이다.
37	$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x+4}-2}$ 의 값은?
38	$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{3 k}{n}}$ 의 값은?
39	등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 에 대하여 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}+1}{3^{n}+2^{2 n-1}}=3$ 일 때, $a_{2}$ 의 값은?
40	그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\sec ^{2} x+\tan x}\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}\right)$ 와 $x$ 축, $y$ 축 및 직선 $x=\frac{\pi}{3}$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?
41	그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 1 이고 중심각의 크기가 $\frac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\mathrm{OA}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 이 있다. 호 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 위에 점 $\mathrm{P}_{1}$, 선분 $\mathrm{OA}_{1}$ 위에 점 $\mathrm{C}_{1}$, 선분 $\mathrm{OB}_{1}$ 위에 점 $\mathrm{D}_{1}$ 을 사각형 $\mathrm{OC}_{1} \mathrm{P}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 이 $\overline{\mathrm{OC}_{1}}: \overline{\mathrm{OD}_{1}}=3: 4$ 인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 $\mathrm{OA}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 의 내부에 점 $\mathrm{Q}_{1}$ 을 $\overline{\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}}=\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{Q}_{1}}, \angle \mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~A}_{1}=\frac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡고, 이등변삼각형 $\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_{1}$ 이라 하자. 그림 $R_{1}$ 에서 선분 $\mathrm{OA}_{1}$ 위의 점 $\mathrm{A}_{2}$ 와 선분 $\mathrm{OB}_{1}$ 위의 점 $\mathrm{B}_{2}$ 를 $\overline{\mathrm{OQ}_{1}}=\overline{\mathrm{OA}_{2}}=\overline{\mathrm{OB}_{2}}$ 가 되도록 잡고, 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{OQ}_{1}}$, 중심각의 크기가 $\frac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\mathrm{OA}_{2} \mathrm{~B}_{2}$ 를 그린다. 그림 $R_{1}$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 $\mathrm{P}_{2}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{D}_{2}, \mathrm{Q}_{2}$ 를 잡고, 이등변삼각형 $\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2} \mathrm{~A}_{2}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_{2}$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_{n}$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_{n}$ 이라 할 때, $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ 의 값은?
42	그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 길이가 2 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 반원 위에 $\angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{2}$ 인 점 $\mathrm{C}$ 가 있다. 호 $\mathrm{BC}$ 위에 점 $\mathrm{P}$ 와 호 $\mathrm{CA}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{QC}}$ 가 되도록 잡고, 선분 $\mathrm{AP}$ 위에 점 $\mathrm{R}$ 를 $\angle \mathrm{CQR}=\frac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡는다. 선분 $\mathrm{AP}$ 와 선분 $\mathrm{CO}$ 의 교점을 $\mathrm{S}$ 라 하자. $\angle \mathrm{PAB}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{POB}$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 사각형 $\mathrm{CQRS}$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim _{\theta \rightarrow 0+} \frac{3 f(\theta)-2 g(\theta)}{\theta^{2}}$ 의 값은? (단, $0<\theta<\frac{\pi}{4}$ )
43	세 상수 $a, b, c$ 에 대하여 함수 $f(x)=a e^{2 x}+b e^{x}+c$ 가 다음 조건을 만족시킨다. \[ \begin{aligned} & \text { (가) } \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)+6}{e^{x}}=1 \\ & \text { (나) } f(\ln 2)=0 \end{aligned} \] 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $\int_{0}^{14} g(x) d x=p+q \ln 2$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, q$ 는 유리수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.)
44	최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=e^{\sin \pi x}-1$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x)=g(f(x))$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값 0 을 갖는다. (나) 열린구간 $(0,3)$ 에서 방정식 $h(x)=1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 7 이다.
45	좌표공간의 점 $\mathrm{A}(2,2,-1)$ 을 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}(-2,1,1)$ 에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$ 의 길이는?
46	초점이 $\mathrm{F}\left(\frac{1}{3}, 0\right)$ 이고 준선이 $x=-\frac{1}{3}$ 인 포물선이 점 $(a, 2)$ 를 지날 때, $a$ 의 값은?
47	타원 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 위의 점 $(2,1)$ 에서의 접선의 기울기가 $-\frac{1}{2}$ 일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a, b$ 는 양수이다.)
48	좌표평면에서 세 벡터 \[ \vec{a}=(2,4), \quad \vec{b}=(2,8), \quad \vec{c}=(1,0) \] 에 대하여 두 벡터 $\vec{p}, \vec{q}$ 가 \[ (\vec{p}-\vec{a}) \cdot(\vec{p}-\vec{b})=0, \quad \vec{q}=\frac{1}{2} \vec{a}+t \vec{c}(t \text { 는 실수 }) \] 를 만족시킬 때, $\|\vec{p}-\vec{q}\|$ 의 최솟값은?
49	좌표공간에 직선 $\mathrm{AB}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{C}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{AB}$ 와 직선 $\mathrm{AC}$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta_{1}$ 이라 할 때 $\sin \theta_{1}=\frac{4}{5}$ 이고, 직선 $\mathrm{AC}$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기는 $\frac{\pi}{2}-\theta_{1}$ 이다. 평면 $\mathrm{ABC}$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta_{2}$ 라 할 때, $\cos \theta_{2}$ 의 값은?
50	두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-c, 0)(c>0)$ 인 쌍곡선 $C$ 와 $y$ 축 위의 점 $\mathrm{A}$ 가 있다. 쌍곡선 $C$ 가 선분 $\mathrm{AF}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{AF}^{\prime}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{P}^{\prime}$ 이라 하자. 직선 $\mathrm{AF}$ 는 쌍곡선 $C$ 의 한 점근선과 평행하고 \[ \overline{\mathrm{AP}}: \overline{\mathrm{PP}^{\prime}}=5: 6, \quad \overline{\mathrm{PF}}=1 \] 일 때, 쌍곡선 $C$ 의 주축의 길이는?
51	평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AD}}=2, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}=\frac{\pi}{3}$ 인 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 위의 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DQ}}$ 의 값을 구하시오. (가) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}})$ (나) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=6$ (다) $2 \times \angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{PBQ}<\frac{\pi}{2}$

3 문제 해결

3.1 GPT-3.5

Code

library(bitGPT)

question_for_chatGPT <- glue::glue("아래 수학문제를 풀어주세요. 단, 풀이과정은 출력하지말고 정답만 간결하게 출력합니다: \n{md_tbl %>% slice(1) %>% pull(문제)}") %>% 
  as.character(.)

res <- chat_completion(question_for_chatGPT, 
                model = "gpt-3.5-turbo",
                type = "console",
                temperature=0)
#> 아래 수학문제를 풀어주세요. 단, 풀이과정은 출력하지말고 정답만 간결하게 출력합니다: 
#> $\left(\frac{4}{2^{\sqrt{2}}}\right)^{2+\sqrt{2}}$ 의 값은?
#> 
#> $32$

res[[1]]$content
#> [1] "아래 수학문제를 풀어주세요. 단, 풀이과정은 출력하지말고 정답만 간결하게 출력합니다: \n$\\left(\\frac{4}{2^{\\sqrt{2}}}\\right)^{2+\\sqrt{2}}$ 의 값은?"
res[[2]]$content
#> [1] "$32$"

10번 문제

아래 수학문제를 풀어주세요: 곡선 $y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k$ 와 $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 두 곡선 $y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k$ 와 직선 $x=2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$ 라 하자. $A=B$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $4<k<5$ )

10번 해답

우선, 두 곡선이 만나는 지점을 구해야 한다. 두 곡선이 만나는 지점에서 $y$ 값이 같으므로, $x^{3}+x^{2}=-x^{2}+k$ 이다. 이를 정리하면 $x^{3}+2x^{2}-k=0$ 이 된다. 이 식의 근을 구하기 위해 $f(x)=x^{3}+2x^{2}-k$ 라고 두고, $f(-2)$ 와 $f(0)$ 의 부호를 비교해보자. $f(-2)=(-2)^{3}+2(-2)^{2}-k=-8+8-k=-k$ 이므로 $k>0$ 일 때 $f(-2)<0$ 이다. $f(0)=0^{3}+2\\cdot0^{2}-k=-k$ 이므로 $k<0$ 일 때 $f(0)<0$ 이다. 따라서 $k$ 는 $0$ 과 $0$ 사이에 위치한다. 이제 두 곡선이 만나는 지점의 $x$ 좌표를 구해보자. 이를 위해 $f(x)$ 의 도함수를 구하면 $f'(x)=3x^{2}+4x$ 이다. 이 식이 $0$ 이 되는 $x$ 값은 $x=0$ 과 $x=-\\frac{4}{3}$ 이다. 이 중에서 $x=-\\frac{4}{3}$ 은 $y$ 축으로 둘러싸인 부분에 속하지 않으므로, $x=0$ 일 때의 $y$ 값을 구하면 된다. $y=x^{3}+x^{2}=0^{3}+0^{2}=0$ 이므로, 두 곡선이 만나는 지점은 $(0,0)$ 이다. 이제 $A$ 와 $B$ 를 구해보자. $A$ 는 $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로, $x=0$ 일 때의 $y$ 값인 $0$ 에서 $k$ 까지 적분하면 된다. 따라서 $A=\\int_{0}^{k}(k-0)dk=k^{2}$ 이다. $B$ 는 $x=2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이이므로, $x$ 값이 $0$ 에서 $2$ 까지이고, 이에 해당하는 $y$ 값은 $y=-x^{2}+k$ 이므로 $B=\\int_{0}^{2}(-x^{2}+k)dx=\\frac{8}{3}+k$ 이다. $A=B$ 이므로 $k^{2}=\\frac{8}{3}+k$ 이다. 이를 정리하면 $k^{2}-k-\\frac{8}{3}=0$ 이 되고, 이 방정식의 해는 $k=\\frac{4}{3}$ 또는 $k=-\\frac{2}{3}$ 이다. $k>0$ 이므로 $k=\\frac{4}{3}$ 이다. 따라서 답은 $\\frac{4}{3}$ 이다.

4 전체문제 풀이

4.1 함수

Code

get_answer <- function(questions) {
  question_for_chatGPT <- glue::glue("아래 수학문제를 풀어주세요. 단, 풀이과정은 출력하지말고 정답만 간결하게 출력합니다: \n{md_tbl %>% slice(questions) %>% pull(문제)}") %>% 
  as.character(.)
  res <- chat_completion(question_for_chatGPT, 
                  model = "gpt-3.5-turbo",
                  type = "console",
                  temperature=0)
  
  return(res[[2]]$content)
}

get_answer(2)
#> 아래 수학문제를 풀어주세요. 단, 풀이과정은 출력하지말고 정답만 간결하게 출력합니다: 
#> $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2}+3 x}{x+5}$ 의 값은?
#> 
#> 1
#> [1] "1"

5 `text-davinci-003`

5.1 스크립트

Code

library(httr)

question_for_chatGPT <- glue::glue("아래 수학문제를 풀어주세요. 단, 풀이과정은 출력하지말고 정답만 간결하게 출력합니다: \n{md_tbl %>% slice(1) %>% pull(문제)}")
# question_for_chatGPT <- glue::glue("아래 수학문제를 풀어주세요: \n{md_tbl %>% slice(1) %>% pull(문제)}") %>% as.character(.)

completion_url <- "https://api.openai.com/v1/completions"
auth <- add_headers(Authorization = paste("Bearer", Sys.getenv("OPENAI_API_KEY")))
body <- list(model = "text-davinci-003", prompt = question_for_chatGPT, 
             temperature = 0,
             max_tokens =200)

resp <- POST(
  completion_url,
  auth,
  body = body,
  encode = "json"
)

answer <- content(resp, as = "text", encoding = "UTF-8") %>%
  jsonlite::fromJSON(flatten = TRUE) %>% 
  pluck("choices")

answer$text

5.2 스크립트

Code

solve_problem <- function(question) {
  # question_for_chatGPT <- glue::glue("아래 수학문제를 풀어주세요. 단, 풀이과정은 출력하지말고 정답만 간결하게 출력합니다: \n{md_tbl %>% slice(question) %>% pull(문제)}")
question_for_chatGPT <- glue::glue("아래 수학문제를 풀어주세요: \n{md_tbl %>% slice(question) %>% pull(문제)}") %>% as.character(.)

  completion_url <- "https://api.openai.com/v1/completions"
  auth <- add_headers(Authorization = paste("Bearer", Sys.getenv("OPENAI_API_KEY")))
  body <- list(model = "text-davinci-003", prompt = question_for_chatGPT, 
               temperature = 0,
               max_tokens =1000)
  
  resp <- POST(
    completion_url,
    auth,
    body = body,
    encode = "json"
  )
  
  answer <- content(resp, as = "text", encoding = "UTF-8") %>%
    jsonlite::fromJSON(flatten = TRUE) %>% 
    pluck("choices")
  
  return(answer$text)
}

solve_problem(3)

정의는 $a_{n+1}=qa_{n}$ 이므로, $a_{2}=qa_{1}$$a_{4}=q^{2}a_{1}$$a_{6}=q^{3}a_{1}$, $a_{2}+a_{4}=30 \\Rightarrow qa_{1}+q^{2}a_{1}=30$$a_{4}+a_{6}=\\frac{15}{2} \\Rightarrow q^{2}a_{1}+q^{3}a_{1}=\\frac{15}{2}$식을 더하면, $qa_{1}+2q^{2}a_{1}+q^{3}a_{1}=\\frac{45}{2}$$(q+2q^{2}+q^{3})a_{1}=\\frac{45}{2}$$a_{1}=\\frac{45}{2(q+2q^{2}+q^{3})}$

문항번호	문제
1	\(\left(\frac{4}{2^{\sqrt{2}}}\right)^{2+\sqrt{2}}\) 의 값은?
2	\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2}+3 x}{x+5}\) 의 값은?
3	공비가 양수인 등비수열 \(\left\{a_{n}\right\}\) 이 \[ a_{2}+a_{4}=30, \quad a_{4}+a_{6}=\frac{15}{2} \] 를 만족시킬 때, \(a_{1}\) 의 값은?
4	다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \[ g(x)=x^{2} f(x) \] 라 하자. \(f(2)=1, f^{\prime}(2)=3\) 일 때, \(g^{\prime}(2)\) 의 값은?
5	\(\tan \theta<0\) 이고 \(\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{\sqrt{5}}{5}\) 일 때, \(\cos \theta\) 의 값은?
6	함수 \(f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+a x+5\) 는 \(x=1\) 에서 극대이고, \(x=b\) 에서 극소이다. \(a+b\) 의 값은? (단, \(a, b\) 는 상수이다.)
7	모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열 \(\left\{a_{n}\right\}\) 이 \[ \sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}=2 \] 를 만족시킬 때, \(a_{4}\) 의 값은?
8	점 \((0,4)\) 에서 곡선 \(y=x^{3}-x+2\) 에 그은 접선의 \(x\) 절편은?
9	함수 \[ f(x)=a-\sqrt{3} \tan 2 x \] 가 닫힌구간 \(\left[-\frac{\pi}{6}, b\right]\) 에서 최댓값 7 , 최솟값 3 을 가질 때, \(a \times b\) 의 값은? (단, \(a, b\) 는 상수이다.)
10	두 곡선 \(y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k\) 와 \(y\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 두 곡선 \(y=x^{3}+x^{2}, y=-x^{2}+k\) 와 직선 \(x=2\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\) 라 하자. \(A=B\) 일 때, 상수 \(k\) 의 값은? (단, \(4<k<5\) )
11	그림과 같이 사각형 \(\mathrm{ABCD}\) 가 한 원에 내접하고 \[ \overline{\mathrm{AB}}=5, \overline{\mathrm{AC}}=3 \sqrt{5}, \overline{\mathrm{AD}}=7, \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD} \] 일 때, 이 원의 반지름의 길이는?
12	실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. \(n-1 \leq x<n\) 일 때, \(\|f(x)\|=\|6(x-n+1)(x-n)\|\) 이다. (단, \(n\) 은 자연수이다.) 열린구간 \((0,4)\) 에서 정의된 함수 \[ g(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t-\int_{x}^{4} f(t) d t \] 가 \(x=2\) 에서 최솟값 0 을 가질 때, \(\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x) d x\) 의 값은?
13	자연수 \(m(m \geq 2)\) 에 대하여 \(m^{12}\) 의 \(n\) 제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 2 이상의 자연수 \(n\) 의 개수를 \(f(m)\) 이라 할 때, \(\sum_{m=2}^{9} f(m)\) 의 값은?
14	다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 다음과 같이 정의한다. \[ g(x)= \begin{cases}x & (x<-1 \text { 또는 } x>1) \\ f(x) & (-1 \leq x \leq 1)\end{cases} \] 함수 \(h(x)=\lim _{t \rightarrow 0+} g(x+t) \times \lim _{t \rightarrow 2+} g(x+t)\) 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $h
15	모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \(\left\{a_{n}\right\}\) 에 대하여 \(a_{9}\) 의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M, m\) 이라 할 때, \(M+m\) 의 값은?
16	방정식 \[ \log _{2}(3 x+2)=2+\log _{2}(x-2) \] 를 만족시키는 실수 \(x\) 의 값을 구하시오.
17	함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f^{\prime}(x)=4 x^{3}-2 x\) 이고 \(f(0)=3\) 일 때, \(f(2)\) 의 값을 구하시오.
18	두 수열 \(\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}\) 에 대하여 \[ \sum_{k=1}^{5}\left(3 a_{k}+5\right)=55, \quad \sum_{k=1}^{5}\left(a_{k}+b_{k}\right)=32 \] 일 때, \(\sum_{k=1}^{5} b_{k}\) 의 값을 구하시오.
19	방정식 \(2 x^{3}-6 x^{2}+k=0\) 의 서로 다른 양의 실근의 개수가 2 가 되도록 하는 정수 \(k\) 의 개수를 구하시오.
20	수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\) 의 시각 \(t(t \geq 0)\) 에서의 속도 \(v(t)\) 와 가속도 \(a(t)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(0 \leq t \leq 2\) 일 때, \(v(t)=2 t^{3}-8 t\) 이다. (나) \(t \geq 2\) 일 때, \(a(t)=6 t+4\) 이다. 시각 \(t=0\) 에서 \(t=3\) 까지 점 \(\mathrm{P}\) 가 움직인 거리를 구하시오.
21	자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 를 \[ f(x)= \begin{cases}\left\|3^{x+2}-n\right\| & (x<0) \\ \left\|\log _{2}(x+4)-n\right\| & (x \geq 0)\end{cases} \] 이라 하자. 실수 \(t\) 에 대하여 \(x\) 에 대한 방정식 \(f(x)=t\) 의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\) 라 할 때, 함수 \(g(t)\) 의 최댓값이 4 가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\) 의 값의 합을 구하시오.
23	다항식 \(\left(x^{3}+3\right)^{5}\) 의 전개식에서 \(x^{9}\) 의 계수는?
24	숫자 \(1,2,3,4,5\) 중에서 중복을 허락하여 4 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 4000 이상인 홀수의 개수는?
25	흰색 마스크 5 개, 검은색 마스크 9 개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 3 개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 3 개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률은?
26	주머니에 1 이 적힌 흰 공 1 개, 2 가 적힌 흰 공 1 개, 1 이 적힌 검은 공 1 개, 2 가 적힌 검은 공 3 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 3 개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 3 개의 공 중에서 흰 공이 1 개이고 검은 공이 2 개인 사건을 \(A\), 꺼낸 3 개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 8 인 사건을 \(B\) 라 할 때, \(\mathrm{P}(A \cup B)\) 의 값은?
27	어느 회사에서 생산하는 샴푸 1 개의 용량은 정규분포 \(\mathrm{N}\left(m, \sigma^{2}\right)\) 을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 16 개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 \(m\) 에 대한 신뢰도 \(95 \%\) 의 신뢰구간이 \(7 \| \| 29\|9\) 이다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 \(n\) 개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 \(m\) 에 대한 신뢰도 \(99 \%\) 의 신뢰구간이 \(a \leq m \leq b\) 일 때, \(b-a\) 의 값이 6 이하가 되기 위한 자연수 \(n\) 의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 \(\mathrm{mL}\) 이고, \(Z\) 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(\mathrm{P}(\|Z\| \leq \| \| 31\|95\), $(\|Z\|
34	연속확률변수 \(X\) 가 갖는 값의 범위는 \(0 \leq X \leq a\) 이고, \(X\) 의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같다. \(\mathrm{P}(X \leq b)-\mathrm{P}(X \geq b)=\frac{1}{4}, \mathrm{P}(X \leq \sqrt{5})=\frac{1}{2}\) 일 때, \(a+b+c\) 의 값은? (단, \(a, b, c\) 는 상수이다.)
35	앞면에는 1 부터 6 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 0 이 하나씩 적혀 있는 6 장의 카드가 있다. 이 6 장의 카드가 그림과 같이 6 이하의 자연수 \(k\) 에 대하여 \(k\) 번째 자리에 자연수 \(k\) 가 보이도록 놓여 있다. 이 6 장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 \(k\) 이면 \(k\) 번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다. 위의 시행을 3 번 반복한 후 6 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 1 의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 \(\frac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.)
36	집합 \(X=\{x \mid x\) 는 10 이하의 자연수 \(\}\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f: X \rightarrow X\) 의 개수를 구하시오. (가) 9 이하의 모든 자연수 \(x\) 에 대하여 \(f(x) \leq f(x+1)\) 이다. (나) \(1 \leq x \leq 5\) 일 때 \(f(x) \leq x\) 이고, \(6 \leq x \leq 10\) 일 때 \(f(x) \geq x\) 이다.
37	\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x+4}-2}\) 의 값은?
38	\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{3 k}{n}}\) 의 값은?
39	등비수열 \(\left\{a_{n}\right\}\) 에 대하여 \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}+1}{3^{n}+2^{2 n-1}}=3\) 일 때, \(a_{2}\) 의 값은?
40	그림과 같이 곡선 \(y=\sqrt{\sec ^{2} x+\tan x}\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}\right)\) 와 \(x\) 축, \(y\) 축 및 직선 \(x=\frac{\pi}{3}\) 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\) 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?
41	그림과 같이 중심이 \(\mathrm{O}\), 반지름의 길이가 1 이고 중심각의 크기가 \(\frac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\mathrm{OA}_{1} \mathrm{~B}_{1}\) 이 있다. 호 \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}\) 위에 점 \(\mathrm{P}_{1}\), 선분 \(\mathrm{OA}_{1}\) 위에 점 \(\mathrm{C}_{1}\), 선분 \(\mathrm{OB}_{1}\) 위에 점 \(\mathrm{D}_{1}\) 을 사각형 \(\mathrm{OC}_{1} \mathrm{P}_{1} \mathrm{D}_{1}\) 이 \(\overline{\mathrm{OC}_{1}}: \overline{\mathrm{OD}_{1}}=3: 4\) 인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 \(\mathrm{OA}_{1} \mathrm{~B}_{1}\) 의 내부에 점 \(\mathrm{Q}_{1}\) 을 \(\overline{\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}}=\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{Q}_{1}}, \angle \mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~A}_{1}=\frac{\pi}{2}\) 가 되도록 잡고, 이등변삼각형 \(\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~A}_{1}\) 에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_{1}\) 이라 하자. 그림 \(R_{1}\) 에서 선분 \(\mathrm{OA}_{1}\) 위의 점 \(\mathrm{A}_{2}\) 와 선분 \(\mathrm{OB}_{1}\) 위의 점 \(\mathrm{B}_{2}\) 를 \(\overline{\mathrm{OQ}_{1}}=\overline{\mathrm{OA}_{2}}=\overline{\mathrm{OB}_{2}}\) 가 되도록 잡고, 중심이 \(\mathrm{O}\), 반지름의 길이가 \(\overline{\mathrm{OQ}_{1}}\), 중심각의 크기가 \(\frac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\mathrm{OA}_{2} \mathrm{~B}_{2}\) 를 그린다. 그림 \(R_{1}\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 \(\mathrm{P}_{2}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{D}_{2}, \mathrm{Q}_{2}\) 를 잡고, 이등변삼각형 \(\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2} \mathrm{~A}_{2}\) 에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_{2}\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림 \(R_{n}\) 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_{n}\) 이라 할 때, \(\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\) 의 값은?
42	그림과 같이 중심이 \(\mathrm{O}\) 이고 길이가 2 인 선분 \(\mathrm{AB}\) 를 지름으로 하는 반원 위에 \(\angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{2}\) 인 점 \(\mathrm{C}\) 가 있다. 호 \(\mathrm{BC}\) 위에 점 \(\mathrm{P}\) 와 호 \(\mathrm{CA}\) 위에 점 \(\mathrm{Q}\) 를 \(\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{QC}}\) 가 되도록 잡고, 선분 \(\mathrm{AP}\) 위에 점 \(\mathrm{R}\) 를 \(\angle \mathrm{CQR}=\frac{\pi}{2}\) 가 되도록 잡는다. 선분 \(\mathrm{AP}\) 와 선분 \(\mathrm{CO}\) 의 교점을 \(\mathrm{S}\) 라 하자. \(\angle \mathrm{PAB}=\theta\) 일 때, 삼각형 \(\mathrm{POB}\) 의 넓이를 \(f(\theta)\), 사각형 \(\mathrm{CQRS}\) 의 넓이를 \(g(\theta)\) 라 하자. \(\lim _{\theta \rightarrow 0+} \frac{3 f(\theta)-2 g(\theta)}{\theta^{2}}\) 의 값은? (단, \(0<\theta<\frac{\pi}{4}\) )
43	세 상수 \(a, b, c\) 에 대하여 함수 \(f(x)=a e^{2 x}+b e^{x}+c\) 가 다음 조건을 만족시킨다. \[ \begin{aligned} & \text { (가) } \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)+6}{e^{x}}=1 \\ & \text { (나) } f(\ln 2)=0 \end{aligned} \] 함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(\int_{0}^{14} g(x) d x=p+q \ln 2\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, q\) 는 유리수이고, \(\ln 2\) 는 무리수이다.)
44	최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\) 와 함수 \(g(x)=e^{\sin \pi x}-1\) 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 \(h(x)=g(f(x))\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(h(x)\) 는 \(x=0\) 에서 극댓값 0 을 갖는다. (나) 열린구간 \((0,3)\) 에서 방정식 \(h(x)=1\) 의 서로 다른 실근의 개수는 7 이다.
45	좌표공간의 점 \(\mathrm{A}(2,2,-1)\) 을 \(x\) 축에 대하여 대칭이동한 점을 \(\mathrm{B}\) 라 하자. 점 \(\mathrm{C}(-2,1,1)\) 에 대하여 선분 \(\mathrm{BC}\) 의 길이는?
46	초점이 \(\mathrm{F}\left(\frac{1}{3}, 0\right)\) 이고 준선이 \(x=-\frac{1}{3}\) 인 포물선이 점 \((a, 2)\) 를 지날 때, \(a\) 의 값은?
47	타원 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) 위의 점 \((2,1)\) 에서의 접선의 기울기가 \(-\frac{1}{2}\) 일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, \(a, b\) 는 양수이다.)
48	좌표평면에서 세 벡터 \[ \vec{a}=(2,4), \quad \vec{b}=(2,8), \quad \vec{c}=(1,0) \] 에 대하여 두 벡터 \(\vec{p}, \vec{q}\) 가 \[ (\vec{p}-\vec{a}) \cdot(\vec{p}-\vec{b})=0, \quad \vec{q}=\frac{1}{2} \vec{a}+t \vec{c}(t \text { 는 실수 }) \] 를 만족시킬 때, \(\|\vec{p}-\vec{q}\|\) 의 최솟값은?
49	좌표공간에 직선 \(\mathrm{AB}\) 를 포함하는 평면 \(\alpha\) 가 있다. 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 점 \(\mathrm{C}\) 에 대하여 직선 \(\mathrm{AB}\) 와 직선 \(\mathrm{AC}\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta_{1}\) 이라 할 때 \(\sin \theta_{1}=\frac{4}{5}\) 이고, 직선 \(\mathrm{AC}\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\frac{\pi}{2}-\theta_{1}\) 이다. 평면 \(\mathrm{ABC}\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta_{2}\) 라 할 때, \(\cos \theta_{2}\) 의 값은?
50	두 초점이 \(\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-c, 0)(c>0)\) 인 쌍곡선 \(C\) 와 \(y\) 축 위의 점 \(\mathrm{A}\) 가 있다. 쌍곡선 \(C\) 가 선분 \(\mathrm{AF}\) 와 만나는 점을 \(\mathrm{P}\), 선분 \(\mathrm{AF}^{\prime}\) 과 만나는 점을 \(\mathrm{P}^{\prime}\) 이라 하자. 직선 \(\mathrm{AF}\) 는 쌍곡선 \(C\) 의 한 점근선과 평행하고 \[ \overline{\mathrm{AP}}: \overline{\mathrm{PP}^{\prime}}=5: 6, \quad \overline{\mathrm{PF}}=1 \] 일 때, 쌍곡선 \(C\) 의 주축의 길이는?
51	평면 \(\alpha\) 위에 \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AD}}=2, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}=\frac{\pi}{3}\) 인 사다리꼴 \(\mathrm{ABCD}\) 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 \(\alpha\) 위의 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DQ}}\) 의 값을 구하시오. (가) \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}})\) (나) \(\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=6\) (다) \(2 \times \angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{PBQ}<\frac{\pi}{2}\)

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