대학수학능력시험 문제

확률과 통계

2022학년도

23번 문제

23. 다항식 $(x+2{)}^7$ 전개식에서 $x^5$의 계수는? [2점]

① 42
② 56
③ 70
④ 84
⑤ 98

$$\begin{gathered} {}_7{C}_5\times x^5\times 2^2 \\ {}_7{C}_2\times 2^2\times x^5=\frac{7\times 6}{2}\times 4=42\times 2=84 \end{gathered}$$

24번 문제

24. 확률변수 $X$ 가 이항분포 $B(n,\frac{1}{3})$을 따르고 $V(2X)=40$ 일 때, $n$의 값은? [3점]

① 30 ② 35 ③ 40 ④ 45 ⑤ 50

1. $V(2X)=4V(X)=40$ 따라서, $V(X)=10$

2. $V(X)=n\times p\times (1-p)=n\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=n\times \frac{2}{9}=10$ 따라서, $n=45$

3번 문제

3. 1 부터 10까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 10 장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 3 장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 4 이하이거나 7 이상일 확률은? [3점]

① $\frac{4}{5}$ ② $\frac{5}{6}$ ③ $\frac{13}{15}$ ④ $\frac{9}{10}$ ⑤ $\frac{14}{15}$

27번 문제

27. 어느 자동차 회사에서 생산하는 전기 자동차의 1회 충전 주행 거리는 평균이 $m$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 100 대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 ${\overline{x}}_1$ 일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간이 $a\le m\le b$ 이다. 이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 400대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 ${\overline{x}}_2$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 $c\le m\le d$이다. ${\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2=1.34$이고 $a=c$ 일 때, $b-a$의 값은? (단, 주행 거리의 단위는 km이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $P(|Z|\le 1.96)=0.95,P(|Z|\le 2.58)=0.99$ 로 계산한다.) [3점]

① 5.88 ② 7.84 ③ 9.80 ④ 11.76 ⑤ 13.72

$$ {x}_1 - 1.96 m {x}_1 + 1.96 \~\

{x}_1 - 1.96 m {x}_1 + 1.96 \~$$

$$ {x}_2 - 2.58 m {x}_2 + 2.58 \~\

{x}_2 - 2.58 m {x}_2 + 2.58 $$

상기 식에서 $a,c$는 다음과 같이 정의된다.

$$\begin{gathered} {\overline{x}}_1-1.96\frac{\sigma }{10}\to a \\ {\overline{x}}_2-2.58\frac{\sigma }{20}\to c \end{gathered}$$

그리고 $a=c$이 성립하기 때문에

$$ {x}_1 - 1.96 = {x}_2 - 2.58 \~\

{x}_1 - {x}_2 = 1.96 - 2.58 $$ 여기서 ${\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2=1.34$로 주어졌기 때문에 $\sigma$를 구할 수 있다.

$$\begin{gathered} 1.34=1.96\frac{\sigma }{10}-2.58\frac{\sigma }{20}= \\ \frac{\sigma }{20}(3.92-2.58)=\frac{\sigma }{20}\times 1.34 \end{gathered}$$ 따라서, $\sigma =20$

$$b-a=2\times 1.96\times \frac{20}{10}=4\times 1.96=7.84$$

2021학년도 가형(홀수)

2021학년도 대학수학능력시험 수학가형 전문항 해설

6번 문제

6. 정규분포 $N(20,5^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\overline{X}$라 할 때, $E(\overline{X})+\sigma (\overline{X})$의 값은? [3점]

① $\frac{83}{4}$ ② $\frac{85}{4}$ ③ $\frac{87}{4}$ ④ $\frac{89}{4}$ ⑤ $\frac{91}{4}$

표본평균은 모평균과 같다.

$$E(\overline{X})=20$$ 표본 분산은 모표준편차를 표본으로 나눠줘야 구할 수 있다. 즉,

$$\sigma (\overline{X})=\frac{5}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}$$

따라서,

$$E(\overline{X})+\sigma (\overline{X})=20+\frac{5}{4}=\frac{85}{4}$$ ## 22번 문제

22. $( x + )^5 $ 의 전개식에서 $x^2$의 계수를 구하시오. [3점]

$$\begin{gathered} {}_5{C}_4\times x^4\times (\frac{3}{x^2}{)}^1 \\ {}_5{C}_1\times x^2\times 3=5\times 3\times x^2=15\times x^2 \end{gathered}$$

12. 확률변수 $X$는 평균이 8, 표준편차가 3 인 정규분포를 따르고, 확률변수 $Y$ 는 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다. 두 확률변수 $X,Y$가 $P(4 X ) + P(Y)= $ 을 만족시킬 때, $P(Y\le 8+\frac{2\sigma }{3}$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① 0.8351 ② 0.8413 ③ 0.9332 ④ 0.9772 ⑤ 0.9938

$z$	$P(0\le Z\le z)$
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772
2.5	0.4938