chatGPT

수학문제

저자

소속

이광춘

한국 R 사용자회

목차

• 1 페이스북
• 2 수식 표현
  • 2.1 LaTeX 설치
  • 2.2 헬로월드
  • 2.3 mathpix 패키지
  • 2.4 pdf → .png
• 3 MIT 입학시험
  • 3.1 산술 (Arithmetic)
  • 3.2 AI 추론
    • 1번 문제
    • 2번 문제
    • 3번 문제
    • 4번 문제
    • 5번 문제
    • 6번 문제
    • 7번 문제
• 4 수능 짝수형 문제
  • 4.1 2번 문제
  • 4.2 3번 문제

GPT-4의 구체적인 기능이나 개선 사항은 아직 공개되지 않았지만, 일반적으로 후속 모델은 이전 모델보다 성능이 개선되는 것이 대부분이다. GPT-4의 추론능력이 GPT-3.5와 비교하여 어떤 부분이 개선되었는지 다음과 같이 예측해볼 수 있다:

• 학습 데이터셋 크기: GPT-4는 더 큰 학습 데이터셋을 사용해 훈련될 것으로 예상되며, 이를 통해 다양한 주제에 대한 이해도와 표현력이 향상될 것으로 기대.

• 모델 크기: GPT-4는 아마도 더 많은 파라미터를 가지고 있을 것으로 예상되며, 이를 통해 더욱 복잡한 패턴과 문맥을 인식하고 처리할 수 있을 것으로 기대.

• 최적화 알고리즘: GPT-4는 새로운 최적화 알고리즘을 사용하여 더욱 효율적으로 학습함으로써 모델이 더 빠르게 수렴하고, 더 나은 성능을 발휘할 수 있을 것으로 예상.

• 일반화 및 추론: GPT-4는 이전 버전보다 더 나은 일반화와 추론 능력을 가질 것으로 예상되며, 더욱 정확한 답변과 논리적인 응답을 생성할 수 있을 것으로 기대.

• 적응력: GPT-4는 사용자와의 상호 작용을 통해 더욱 빠르게 적응하고, 더 나은 결과를 제공할 수 있을 것으로 기대.

특히, GPT-4는 추론역량(Reasoning)이 이전 모델과 비교하여 향상된 것이 확인된다.

1 페이스북

페이스북 페친이 올린 기계가 풀기 어려웠던 고난도 수학문제를 풀어보자.

페이스북 담벼락

GPT-3.5 해답

GPT-4 해답

2 수식 표현

2.1 LaTeX 설치

tinytex::install_tinytex() 명령어로 $\LaTeX$을 설치한다.

코드

tinytex::install_tinytex()
# 설치위치 확인
tinytex::tinytex_root()

2.2 헬로월드

코드를 작성하여 문서(PDF)를 작성하는 사례를 구현해보자. 한글을 PDF 문서로 작성하는 것은 다른 문제로 한글을 PDF로 표현할 경우 글꼴을 비롯한 한글문서 고유한 특성을 반영할 것이 필요하기 때문에 자세한 사항은 데이터 과학 글쓰기를 참고한다.

코드

writeLines(c(
  '\\documentclass{article}',
  '\\begin{document}', 'Hello world!', '\\end{document}'
), 'pdf/test_eng.tex')

tinytex::pdflatex('pdf/test_eng.tex')
#> [1] "pdf/test_eng.pdf"

2.3 mathpix 패키지

OCR 작업을 위해서 과거 tesseract이 많이 사용되었으나 최근에는 AI 기술을 적용한 다양한 OCR 시스템이 소개되고 있다. 수식을 기계가 인식할 수 있는 형태로 인식하는 것은 다른 문제로 다양한 도구가 소개되고 있으나 mathpix도 성능이 좋은 도구중 하나로 과학기술분야 널리 사용되고 있다.

코드

library(mathpix)
mathpix("images//integral.jpg")

\[ \int \frac { 4 x } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } d x \]

2.4 pdf → .png

2023년 수능 PDF 수학문제 파일을 이미지(.png) 파일로 변환시키자.

코드

library(pdftools)

pdf_convert("data/2교시_수학영역_문제지.pdf", format = "png", pages=1, filenames = "pdf/math_01.png")

코드

math_01_png <- mathpix::mathpix("pdf/math_01.png", insert = FALSE)

\[ g ( x ) = x ^ { 2 } f ( x ) \]

코드

math_01_png
#> [1] "$$\n g ( x ) = x ^ { 2 } f ( x ) \n$$"

3 MIT 입학시험

Massachusetts Institute of Technology - Entrance Examination, 1869-70

MIT 입학시험문제가 공개되어 있지만, 이미지에 문자가 담긴 형태라 이를 OCR 기계가 읽을 수 있는 형태로 변환하는 작업을 수행한 후에 GPT-4 를 통해 추론역량을 확인해보자.

3.1 산술 (Arithmetic)

MIT 입학시험 산술문제를 기계판독하고 오류가 있는 부분을 수정하여 마이크로소프트 빙 AI, OpenAI GPT-4를 통해 추론능력을 살펴보자.

시험지

시험지 기계판독

1. Find the sum, then the difference, and then the product of \(3 \frac{5}{9}\) and \(1 \frac{7}{24}\). Divide \(3 \frac{5}{9}\) by \(1 \frac{7}{24}\).
2. Multiply 73 thousandths by 19 hundredths.
3. Divide 2880 by .0036 .
4. Find the value in decimals of \(\frac{1}{5}+\frac{8}{4}\).
5. What part of the month of August is \(\frac{7}{18}\) minutes?
6. How many degrees in .01 of a circumference?
7. By selling a house and lot for \(\$ 5,790\), the owner lost \(3 \frac{1}{2}\) per cent. What was their cost?

해답지

해답 기계판독

1. Sum: \(3 \frac{5}{9}+1 \frac{7}{24}=\frac{32}{9}+\frac{31}{24}=\frac{256}{72}+\frac{93}{72}=\frac{349}{72}\) or \(4 \frac{61}{72}\)
   Diff: \(3 \frac{5}{9}-1 \frac{7}{24}=\frac{163}{72}\) or \(2 \frac{19}{72}\)
   Prod: \(3 \frac{5}{9} \cdot 1 \frac{7}{24}=\frac{124}{27}\) or \(4 \frac{16}{27}\)
   Div: \(3 \frac{5}{9} \div 1 \frac{7}{24}=\frac{32}{9} \div \frac{31}{24}\) \(= \frac{32}{9} \cdot \frac{24}{31} = \frac{256}{93}\) or \(2 \frac{70}{99}\)
2. \(\frac{73}{1000} \cdot \frac{19}{100}=\frac{1387}{100000}\) or .01387 or 1387 hundred thousandths
3. \(\frac{2880}{.0036}=\frac{28800000}{36}=800,000\) or 8 hundred thousandths
4. \(\quad \frac{1}{5}+\frac{3}{9}=\frac{4}{20}+\frac{15}{20}=\frac{19}{20} \cdot \frac{5}{5}=\frac{95}{100}=.95\)
   A August has 31 days \(=744\) hours \(=44640\) min
   one minute \(=\frac{1}{44640}\) part of Angust
   So \(\frac{7}{18} \min =\frac{7}{18}\left(\frac{1}{44640}\right)=\frac{7}{803520}\) part of August
5. 1 circumference \(=360^{\circ} ;\) 0.01 of of cercumferene \(=3.6^{\circ}\)
6. lose of \(3 \frac{1}{2} \%\) makes selling price \(=100 \%-3 \frac{1}{2} \%=96.5 \%\) of cost \(8 / 5790=96.5 \%\) of cost; \(5790=\frac{96.5}{100}\) of cost;
   cost \(=5790 \cdot \frac{100}{96,5}=\$ 6000\)

3.2 AI 추론

1번 문제

Bing AI

1. Sure! Let’s first convert the mixed numbers to improper fractions. \(3 \frac{5}{9}\) is equal to \(\frac{32}{9}\) and \(1 \frac{7}{24}\) is equal to \(\frac{31}{24}\).
   Now we can find the sum: \(\frac{32}{9} + \frac{31}{24} = \frac{(32)(8) + (31)(3)}{(9)(8)} = \frac{256 + 93}{72} = \frac{349}{72}\).
   The difference is: \(\frac{32}{9} - \frac{31}{24} = \frac{(32)(8) - (31)(3)}{(9)(8)} = \frac{256 - 93}{72} = \frac{163}{72}\).
   The product is: \(\left(\dfrac{32}{9}\right)\left(\dfrac{31}{24}\right) = \dfrac{(32)(31)}{(9)(24)} = \dfrac{992}{216}\).
   To divide \(3 \frac{5}{9}\) by \(1 \frac{7}{24}\), we can multiply \(3 \frac{5}{9}\) by the reciprocal of \(1 \frac{7}{24}\). The reciprocal of \(\dfrac{31}{24}\) is \(\dfrac{24}{31}\).
   So the quotient is: \(\left(\dfrac{32}{9}\right)\left(\dfrac{24}{31}\right) = \dfrac{(32)(24)}{(9)(31)} = \dfrac{768}{279}\).

OpenAI

Let’s first convert the mixed numbers into improper fractions: \(3 \frac{5}{9} = \frac{3 \times 9 + 5}{9} = \frac{27 + 5}{9} = \frac{32}{9}\)

\(1 \frac{7}{24} = \frac{1 \times 24 + 7}{24} = \frac{24 + 7}{24} = \frac{31}{24}\)

Find the sum, difference, product, and division of the two improper fractions: Sum:

\(\frac{32}{9} + \frac{31}{24} = \frac{32 \times 24}{9 \times 24} + \frac{31 \times 9}{24 \times 9} = \frac{768}{216} + \frac{279}{216} = \frac{1047}{216}\)

Difference:

\(\frac{32}{9} - \frac{31}{24} = \frac{32 \times 24}{9 \times 24} - \frac{31 \times 9}{24 \times 9} = \frac{768}{216} - \frac{279}{216} = \frac{489}{216}\)

Product:

\(\frac{32}{9} \times \frac{31}{24} = \frac{32 \times 31}{9 \times 24} = \frac{992}{216}\)

Division:

\(\frac{32}{9} \div \frac{31}{24} = \frac{32}{9} \times \frac{24}{31} = \frac{32 \times 24}{9 \times 31} = \frac{768}{279}\)

The corrected results are:

Sum: \(\frac{1047}{216}\) Difference: \(\frac{489}{216}\) Product: \(\frac{992}{216}\) Division: \(\frac{768}{279}\)

2번 문제

Bing AI

Sure! To multiply 73 thousandths by 19 hundredths, you can convert them to decimals first. 73 thousandths is equivalent to 0.073 and 19 hundredths is equivalent to 0.19. Multiplying these two numbers gives us a result of 0.01387.

OpenAI

To multiply decimals, first multiply the numbers as if they were whole numbers, and then count the total number of decimal places in both numbers.

73 thousandths can be written as 0.073, and 19 hundredths can be written as 0.19.

Now, multiply the numbers as if they were whole numbers:

73 * 19 = 1387

There are a total of 5 decimal places in both numbers combined (3 decimal places in 0.073 and 2 decimal places in 0.19). So, we need to place the decimal point 5 places from the right in the product:

0.001387

Therefore, the product of 73 thousandths and 19 hundredths is 0.001387.

3번 문제

Bing AI

Sure! Here’s a step-by-step guide on how to divide 2880 by 0.0036:

1. Write the problem as a long division problem: 2880 ÷ 0.0036
2. Move the decimal point in the divisor (0.0036) to the right until it becomes a whole number (36). Move the decimal point in the dividend (2880) the same number of places to the right: 28800000 ÷ 36
3. Perform long division to get a result of 800000.

OpenAI

To divide 2880 by 0.0036, you can first divide both numbers by the same power of 10 to make the divisor a whole number. In this case, since the divisor has four decimal places, you can multiply both numbers by 10^4:

2880 * 10^4 = 28800000 0.0036 * 10^4 = 36

Now, divide 28800000 by 36:

28800000 ÷ 36 = 800000

So, 2880 divided by 0.0036 is 800000.

4번 문제

Bing AI

Sure! To find the value in decimals of \(\frac{1}{5}+\frac{8}{4}\), you can first convert the fractions to decimals. \(\frac{1}{5}\) is equivalent to 0.2 and \(\frac{8}{4}\) is equivalent to 2. Adding these two numbers gives us a result of 2.2.

OpenAI

First, let’s simplify each fraction and convert them to decimals:

\(\frac{1}{5}\) as a decimal is 0.2.

\(\frac{8}{4}\) can be simplified to \(\frac{2}{1}\), which as a decimal is 2.

Now, add the two decimal values:

\(0.2 + 2 = 2.2\)

So, the value of \(\frac{1}{5}+\frac{8}{4}\) in decimals is 2.2.

5번 문제

Bing AI

I’m sorry but your question is a bit unclear. Could you please clarify what you mean by “what part of the month of August is \(\frac{7}{18}\) minutes”? Are you asking for a specific date and time in August that corresponds to \(\frac{7}{18}\) minutes?

OpenAI

To determine what part of the month of August is \(\frac{7}{18}\) minutes, we first need to know the total number of minutes in the month of August.

August has 31 days, and each day has 24 hours with 60 minutes per hour. Therefore, there are:

\(31 \times 24 \times 60 = 44640\) minutes in August.

Now, we can find what part of the month of August is \(\frac{7}{18}\) minutes by dividing \(\frac{7}{18}\) by the total number of minutes:

\(\frac{7}{18} \div 44640 = \frac{7}{18 \times 44640}\)

Now, simplify the fraction:

\(\frac{7}{802080}\)

So, \(\frac{7}{18}\) minutes is \(\frac{7}{802080}\) of the month of August.

6번 문제

Bing AI

Sure! A full circumference is equivalent to 360 degrees. To find the number of degrees in 0.01 of a circumference, you can multiply 360 by 0.01 to get a result of 3.6 degrees.

OpenAI

To find out how many degrees are in 0.01 of a circumference, you need to consider that a full circumference corresponds to 360 degrees.

To find the number of degrees in 0.01 of a circumference, multiply 360 degrees by 0.01:

360° × 0.01 = 3.6°

So, there are 3.6 degrees in 0.01 of a circumference.

7번 문제

Bing AI

Sure! Let’s say the owner’s cost was \(x\). If they lost \(3 \frac{1}{2}\) per cent on the sale, then their selling price was \(100% - 3 \frac{1}{2}% = 96.5%\) of their cost. So we can write the equation: \(0.965x = 5790\). Solving for \(x\), we find that the owner’s cost was $ \(5994.81\).

OpenAI

To find the original cost of the house and lot, we set up and solve the equation as follows:

Let the cost of the house and lot be denoted by C. The owner lost \(3\frac{1}{2}%\) on the sale, which means they sold it for \(100% - 3\frac{1}{2}%\) of its original value. First, convert \(3\frac{1}{2}%\) to a decimal:

\(3\frac{1}{2}% = 3.5%\)

Now, subtract this percentage from \(100%\) to find the percentage of the cost at which the house was sold:

\(100% - 3.5% = 96.5%\)

Now, we know that \(96.5%\) of the cost is equal to the selling price, which is $\(5,790\). We can write this as an equation:

$0.965C = \(5,790\)

Now, we can find the cost (C) by dividing both sides of the equation by 0.965:

$C = $

$C \(5,995.85\)

So, the original cost of the house and lot was approximately $\(5,995.85\). In LaTeX format, the solution is as follows:

Let the cost be denoted by \(C\). The equation representing the loss is: [0.965C = 5790]

To find the cost, divide both sides by 0.965: [C = ]

Therefore, the original cost of the house and lot was approximately $5,995.85.

4 수능 짝수형 문제

2022학년도 대학수학능력시험 문제지 수학영역 짝수형에 나와 있는 수능 문제를 추론능력을 활용하여 풀어보자.

챗GPT 수능문제풀이

4.1 2번 문제

함수 \(f(x)=x^3+3 x^2+x-1\) 에 대하여 \(f^{\prime}(1)\) 의 값은?

GPT-3.5

코드

library(tidyverse)
library(openai)

solve_math_02 <- create_completion(
    model="text-davinci-003",
    prompt = '\\text { 2. 함수 } f(x)=x^3+3 x^2+x-1 \\text { 에 대하여 } f^{\\prime}(1) \\text { 의 값은? } and explain the answer',
    max_tokens=1024,
    openai_api_key = Sys.getenv("OPENAI_API_KEY")
)

cat(solve_math_02$choices$text)
#> 
#> 
#> f'(1)은 함수 f(x)의 미분값이므로 
#> 
#> f'(1) = 3x^2 + 6x + 1 = 8
#> 
#> 따라서 f'(1)의 값은 8입니다. 
#> 
#> 그 이유는 함수 f'(x)는 x값에 따라 변하는 값이기 때문입니다. 그래서 x값이 1일 때 f'(1)의 값은 3·12 + 6·1 + 1 = 8 입니다.

Bing AI

Sure! The derivative of a function \(f(x)\) is denoted by \(f’(x)\) and represents the rate of change of the function at a given point. To find the value of \(f’(1)\) for the function \(f(x)=x^3+3 x^2+x-1\), we first need to find its derivative.

The derivative of \(x^3\) is \(3x^2\), the derivative of \(3x^2\) is \(6x\), and the derivative of \(x\) is 1. The derivative of a constant term like -1 is 0. So, the derivative of the function \(f(x)=x^3+3 x^2+x-1\) is:

\[f’(x) = 3x^2 + 6x + 1\]

To find the value of \(f’(1)\), we can substitute x=1 into this equation:

\[f’(1) = 3(1)^2 + 6(1) + 1 = 10\]

So, the value of \(f’(1)\) for the function \(f(x)=x^3+3 x^2+x-1\) is 10.

chatGPT GPT-4

함수 \(f(x)=x^3+3x^2+x-1\)의 도함수를 구하고, \(x=1\)일 때의 값을 구하겠습니다.

\(f(x)\)의 도함수는 \(f'(x)\)로 표시되며, 각 항에 대한 미분을 적용합니다:

\(f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1)\)

각 항에 대한 미분 결과는 다음과 같습니다:

\(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\)

\(\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x\)

\(\frac{d}{dx}(x) = 1\)

\(\frac{d}{dx}(1) = 0\)

이제 도함수를 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

\(f'(x) = 3x^2 + 6x + 1\)

이제 \(f'(1)\)을 구합니다:

\(f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) + 1 = 3 + 6 + 1 = 10\)

따라서, \(f^{\prime}(1)\)의 값은 10입니다.

chatGPT 플러그인

환영환각을 없앤 수학 엔진 울프램(Woolfram)을 사용해서 문제를 풀어보자

함수 \(f(x)=x^3+3 x^2+x-1\) 의 도함수 \(f^{\prime}(x)\) 를 구하면, \(f^{\prime}(x)=3 x^2+6 x+1\) 이 됩니 다. 이제 \(f^{\prime}(1)\) 의 값을 구하면 됩니다. Wolfram Alpha를 사용하여 이 계산을 수행하겠습니다. Used Wolfram 함수 \(f^{\prime}(x)=3 x^2+6 x+1\) 에 \(x=1\) 을 대입하면, \(f^{\prime}(1)=10\) 이 됩니다. 따라서, \(f^{\prime}(1)=10\) 입니다. 이는 함수 \(f(x)=x^3+3 x^2+x-1\) 의 \(x=1\) 에서의 기울기를 나타냅니다.

\[\begin{align*} f(x) &= x^3 + 3x^2 + x - 1 \\ f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + x - 1) \\ &= 3x^2 + 6x + 1 \\ f'(1) &= 3(1)^2 + 6(1) + 1 \\ &= 10 \end{align*}\]

4.2 3번 문제

등차수열 \(\left\{a_n\right\}\) 에 대하여 \[ a_2=6, \quad a_4+a_6=36 \] 일 때, \(a_{10}\) 의 값은?

GPT-3.5

코드

solve_math_03 <- create_completion(
    model="text-davinci-003",
    prompt = '등차수열 $\left\{a_n\right\}$ 에 대하여 $$ a_2=6, \quad a_4+a_6=36 $$ 일 때, $a_{10}$ 의 값은?',
    max_tokens=1024,
    openai_api_key = Sys.getenv("OPEN_AI_KEY")
)

cat(solve_math_03$choices$text)

\[ \begin{align} & a_2 = 6 \\ & a_4 + a_6 = 36 \\ \end{align} \]

등차수열의 정의에 따라 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 이므로, \(a_1\) 과 \(d\) 를 구해야 합니다.

\[ \begin{align} & a_2 = 6 \\ & a_2 = a_1 + (2-1)d \\ \therefore \quad & a_1 = 6 - d \\ \end{align} \]

\[ \begin{align} & a_4 + a_6 = 36 \\ & a_4 = a_1 + (4-1)d \\ & a_6 = a_1 + (6-1)d \\ \therefore \quad & a_1 + 3d + a_1 + 5d = 36 \end{align} \]

빙 AI

Sure! In an arithmetic sequence \(a_n\), the difference between consecutive terms is constant. Let’s denote this common difference by \(d\). Then we have:

\[a_3 = a_2 + d = 6 + d\] \[a_4 = a_3 + d = 6 + 2d\] \[a_5 = a_4 + d = 6 + 3d\] \[a_6 = a_5 + d = 6 + 4d\]

We are given that \(a_4+a_6=36\), so substituting the expressions for \(a_4\) and \(a_6\) from above, we get:

\[(6+2d)+(6+4d)=36 \Rightarrow 12+6d=36 \Rightarrow d=4\]

Now that we know the common difference \(d\), we can find the value of \(a_{10}\):

\[a_{10} = a_{9}+d=a_{8}+2d=\cdots=a_{2}+8d=6+8(4)=38\]

So, the value of \(a_{10}\) for this arithmetic sequence is 38.

OpenAI GPT-4

등차수열 \(a_n\)에서 일반적인 항은 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)로 표현됩니다. 여기서 \(a_1\)은 첫 번째 항이고 \(d\)는 공차입니다.

문제에서 주어진 정보를 사용하여 두 개의 방정식을 작성할 수 있습니다:

\[a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d = 6\] \[a_4 + a_6 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 36\]

첫 번째 방정식에서 \(d\)에 대해 풀면 \(d = 6 - a_1\)입니다. 이것을 두 번째 방정식에 대입합니다:

\[(a_1 + 3(6 - a_1)) + (a_1 + 5(6 - a_1)) = 36\]

이제 \(a_1\)에 대해 풀면 됩니다:

\[2a_1 - 3a_1 + 18 - 5a_1 + 30 = 36\] \[-6a_1 = -12\] \[a_1 = 2\]

이제 \(a_1 = 2\)를 사용하여 공차 \(d\)를 찾습니다:

\[d = 6 - a_1 = 6 - 2 = 4\]

따라서 등차수열의 첫 번째 항은 \(a_1 = 2\)이고 공차는 \(d = 4\)입니다. 이제 \(a_{10}\)을 찾을 수 있습니다:

\[a_{10} = a_1 + (10-1)d = 2 + 9 \times 4 = 2 + 36 = 38\]

따라서, \(a_{10}\)의 값은 38입니다.

chatGPT 플러그인

등차수열 \(\left\{a_n\right\}\) 에서, 일반적인 항은 다음과 같이 표현될 수 있습니다: \(a_n=a_1+(n-1) d\), 여기서 \(d\) 는 공차입니다.

우리는 \(a_2=6\) 이라는 것을 알고 있습니다. 따라서, \(a_2=a_1+d=6\) 입니다.

또한, \(a_4+a_6=36\) 이라는 것을 알고 있습니다. 이를 일반적인 항의 형태로 바꾸면, \(a_1+\) \(3 d+a_1+5 d=36\) 이 됩니다. 이를 정리하면, \(2 a_1+8 d=36\) 입니다.

이제 두 개의 방정식을 풀어 \(a_1\) 과 \(d\) 를 찾을 수 있습니다. Wolfram Alpha를 사용하여 이 계산을 수행하겠습니다.

Used Wolfram

위의 계산 결과에 따르면, \(a_1=2\) 그리고 \(d=4\) 입니다.

이제 이 값을 사용하여 \(a_{10}\) 을 계산할 수 있습니다. 일반적인 항의 형태인 \(a_n=a_1+(n-\) 1) \(d\) 에 대입하면, \(a_{10}=a_1+9 d\) 입니다. Wolfram Alpha를 사용하여 이 계산을 수행하겠습니 다.

Used Wolfram

따라서, \(a_{10}=2+9 \times 4=38\) 입니다.

즉, 주어진 등차수열 \(\left\{a_n\right\}\) 에서 \(a_{10}\) 의 값은 38 입니다.

chatGPT chatGPT 생성 AI chatGPT 이해 /architecture.html 추세 트렌드 /trends.html 왜 거대언어모형인가? /why_llm.html NLP와 LLM /nlp_LLM.html GPT-4 성능 /gpt4_performance.html 챗GPT 보안사고 /gpt-security.html —————— 인터페이스 /interface.html 오픈소스 S/W LLM /open_source.html chatGPT 응용사례 활용사례 /use-cases.html 법인 R 소개영상 /intro_avi.html 맥북 투척사건 /macbook.html 오피스 전쟁 /office.html 보도자료 작성 /news_article.html 데이터 과학 책 /intro_book.html 논문 초록 /intro_paper.html 학술연구(R&D) /rnd.html 멤버 Yuji /yuji.html Stable Diffusion /stable_diffusion.html Text-to-Images /text_to_images.html bitGPT Text-to-Image /text2image.html 삼전 주가예측 /samsung.html 계산기 프로그램 /calculator.html GPT R 코딩개발 /rcoding.html 부조종사 R 코딩개발 /rcoding-copilot.html 수학: MIT / 수능 /math.html Shiny 앱 /middle_school.html 대통령 취임사 /inaugural.html 번역(영한, 한영) /translation.html 챗GPT 팀구성 /gg_grouping.html 사업자등록증 API (국세청) /biz_number_API.html Prompt Eng. Prompt Engineering /prompt.html Advanced Prompt Engineering /prompt_adv.html 프롬프트 실무 /prompt_in_practice.html (개발자) 프롬프트 공학 /prompt_for_develoopers.html 데이터 과학 프롬프트 /prompt_data_science.html 데이터 과학 인터뷰 /interview.html 자동화/개발 통합개발환경(IDE) /ide.html 파이썬 환경구축 /reticulate.html OpenAI GPT /openAI_GPT.html LangCahin 아키텍쳐 /langchain_arch.html 오정보 음성인식(Whisper) /whisper.html 오정보 요약 /news_release.html 오정보 임베딩 /misinfo_embedding.html 펭귄 데이터셋 /palmer_penguins.html 펭귄 데이터 분석 /penguins_analytics.html EDA 자동화 AutoEDA /autoGPT_ds.html ML 자동화 AutoML 데이터 과학 AutoGPT 판다스 AI /pandasai.html 펭귄: 라마인덱스 /llama_penguins.html 챗GPT SQL /sql_openai.html Hugging Face /hf.html Hugging Face(윈도우) /hf_windows.html HF 파이프라인 /hf_pipeline.html HuggingfaceR - 모형통계 /koGPT.html BERT /BERT.html 게시글 /blog.html 비즈니스 챗GPT 개요 /chatGPT_overview.html https://github.com/bit2r/chatGPT R사용자회 https://r2bit.com Open Assistant https://github.com/LAION-AI/Open-Assistant RTutor https://rtutor.ai/ About /about.html Quarto 개발 한국 R 사용자회 Github 코드 저장소

chatGPT chatGPT chatGPT chatGPT 수학문제 수학문제

---
title: "chatGPT"
subtitle: "수학문제"
author:
  - name: 이광춘
    url: https://www.linkedin.com/in/kwangchunlee/
    affiliation: 한국 R 사용자회
    affiliation-url: https://github.com/bit2r
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    css: css/quarto.css
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---

GPT-4의 구체적인 기능이나 개선 사항은 아직 공개되지 않았지만, 일반적으로 후속 모델은 이전 모델보다 성능이 개선되는 것이 대부분이다. GPT-4의 추론능력이 GPT-3.5와 비교하여 어떤 부분이 개선되었는지 다음과 같이 예측해볼 수 있다:

- 학습 데이터셋 크기: GPT-4는 더 큰 학습 데이터셋을 사용해 훈련될 것으로 예상되며, 이를 통해 다양한 주제에 대한 이해도와 표현력이 향상될 것으로 기대.

- 모델 크기: GPT-4는 아마도 더 많은 파라미터를 가지고 있을 것으로 예상되며, 이를 통해 더욱 복잡한 패턴과 문맥을 인식하고 처리할 수 있을 것으로 기대.

- 최적화 알고리즘: GPT-4는 새로운 최적화 알고리즘을 사용하여 더욱 효율적으로 학습함으로써 모델이 더 빠르게 수렴하고, 더 나은 성능을 발휘할 수 있을 것으로 예상.

- 일반화 및 추론: GPT-4는 이전 버전보다 더 나은 일반화와 추론 능력을 가질 것으로 예상되며, 더욱 정확한 답변과 논리적인 응답을 생성할 수 있을 것으로 기대.

- 적응력: GPT-4는 사용자와의 상호 작용을 통해 더욱 빠르게 적응하고, 더 나은 결과를 제공할 수 있을 것으로 기대.

특히, GPT-4는 추론역량(Reasoning)이 이전 모델과 비교하여 향상된 것이 확인된다.

![](images/reasoning_facebook.jpg)

# 페이스북 

페이스북 페친이 올린 기계가 풀기 어려웠던 고난도 수학문제를 풀어보자.

::: panel-tabset

## 페이스북 담벼락 {.unnumbered}

![](images/reasoning_fb_question.jpg)

## GPT-3.5 해답 {.unnumbered}

![](images/reasoning_fb_gpt35.jpg)

## GPT-4 해답 {.unnumbered}

![](images/reasoning_fb_gpt4.jpg)

:::

# 수식 표현

## `LaTeX` 설치

`tinytex::install_tinytex()` 명령어로 `$\LaTeX$`을 설치한다.

quarto-executable-code-5450563D

```r
#| eval: false
tinytex::install_tinytex()
# 설치위치 확인
tinytex::tinytex_root()
```

## 헬로월드

코드를 작성하여 문서(PDF)를 작성하는 사례를 구현해보자.
한글을 PDF 문서로 작성하는 것은 다른 문제로 한글을 PDF로 표현할 경우 글꼴을 비롯한 한글문서 고유한 특성을 반영할 것이 필요하기 때문에 자세한 사항은 [데이터 과학 글쓰기](https://r2bit.com/quarto/)를 참고한다.

quarto-executable-code-5450563D

```r
writeLines(c(
  '\\documentclass{article}',
  '\\begin{document}', 'Hello world!', '\\end{document}'
), 'pdf/test_eng.tex')

tinytex::pdflatex('pdf/test_eng.tex')
```


## `mathpix` 패키지

OCR 작업을 위해서 과거 [tesseract](https://github.com/tesseract-ocr/tesseract)이 많이 사용되었으나 최근에는 AI 기술을 적용한 다양한 OCR 시스템이 소개되고 있다. 수식을 기계가 인식할 수 있는 형태로 인식하는 것은 다른 문제로 다양한 도구가 소개되고 있으나 [mathpix](https://mathpix.com/ocr)도 성능이 좋은 도구중 하나로 과학기술분야 널리 사용되고 있다.

:::::{.columns}
:::{.column}

quarto-executable-code-5450563D

```r
#| eval: false
library(mathpix)
mathpix("images//integral.jpg")
```

:::

:::{.column}

$$
 \int \frac { 4 x } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } d x 
$$

:::

:::::

## `pdf` → `.png`

2023년 수능 PDF 수학문제 파일을 이미지(`.png`) 파일로 변환시키자.

:::::{.columns}

:::{.column}

![](pdf/math_01.png)

:::

:::{.column}

quarto-executable-code-5450563D

```r
#| eval: false
library(pdftools)

pdf_convert("data/2교시_수학영역_문제지.pdf", format = "png", pages=1, filenames = "pdf/math_01.png")
```


quarto-executable-code-5450563D

```r
math_01_png <- mathpix::mathpix("pdf/math_01.png", insert = FALSE)
```

$$
 g ( x ) = x ^ { 2 } f ( x ) 
$$
quarto-executable-code-5450563D

```r
math_01_png
```

:::

:::::


# MIT 입학시험

[[Massachusetts Institute of Technology - Entrance Examination, 1869-70](https://web.archive.org/web/20120403061216/http://libraries.mit.edu/archives/exhibits/exam/index.html)]{.aside}

MIT 입학시험문제가 공개되어 있지만, 이미지에 문자가 담긴 형태라 이를 OCR 기계가 읽을 수 있는 형태로 변환하는 작업을 수행한 후에 GPT-4 를 통해 추론역량을 확인해보자.

## 산술 (Arithmetic)

MIT 입학시험 산술문제를 기계판독하고 오류가 있는 부분을 수정하여 마이크로소프트 빙 AI,
OpenAI GPT-4를 통해 추론능력을 살펴보자.

::: panel-tabset

### 시험지 {.unnumbered}

![](images/MIT/arithmetic.png)

### 시험지 기계판독 {.unnumbered}

1. Find the sum, then the difference, and then the product of $3 \frac{5}{9}$ and $1 \frac{7}{24}$. Divide $3 \frac{5}{9}$ by $1 \frac{7}{24}$.
2. Multiply 73 thousandths by 19 hundredths.
3. Divide 2880 by .0036 .
4. Find the value in decimals of $\frac{1}{5}+\frac{8}{4}$.
5. What part of the month of August is $\frac{7}{18}$ minutes?
6. How many degrees in .01 of a circumference?
7. By selling a house and lot for $\$ 5,790$, the owner lost $3 \frac{1}{2}$ per cent. What was their cost?


### 해답지 {.unnumbered}

![](images/MIT/arith-answers.jpg)

### 해답 기계판독 {.unnumbered}

1. Sum: $3 \frac{5}{9}+1 \frac{7}{24}=\frac{32}{9}+\frac{31}{24}=\frac{256}{72}+\frac{93}{72}=\frac{349}{72}$ or $4 \frac{61}{72}$ <br> 
 Diff: $3 \frac{5}{9}-1 \frac{7}{24}=\frac{163}{72}$ or $2 \frac{19}{72}$ <br> 
 Prod: $3 \frac{5}{9} \cdot 1 \frac{7}{24}=\frac{124}{27}$ or $4 \frac{16}{27}$ <br> 
 Div: $3 \frac{5}{9} \div 1 \frac{7}{24}=\frac{32}{9} \div \frac{31}{24}$ $= \frac{32}{9} \cdot \frac{24}{31} = \frac{256}{93}$ or $2 \frac{70}{99}$
2. $\frac{73}{1000} \cdot \frac{19}{100}=\frac{1387}{100000}$ or .01387 or 1387 hundred thousandths
3. $\frac{2880}{.0036}=\frac{28800000}{36}=800,000$ or 8 hundred thousandths
4. $\quad \frac{1}{5}+\frac{3}{9}=\frac{4}{20}+\frac{15}{20}=\frac{19}{20} \cdot \frac{5}{5}=\frac{95}{100}=.95$ <br>
A August has 31 days $=744$ hours $=44640$ min <br>
one minute $=\frac{1}{44640}$ part of Angust <br>
So $\frac{7}{18} \min =\frac{7}{18}\left(\frac{1}{44640}\right)=\frac{7}{803520}$ part of August
6. 1 circumference $=360^{\circ} ;$ 0.01 of of cercumferene $=3.6^{\circ}$
7. lose of $3 \frac{1}{2} \%$ makes selling price $=100 \%-3 \frac{1}{2} \%=96.5 \%$ of cost $8 / 5790=96.5 \%$ of cost; $5790=\frac{96.5}{100}$ of cost; <br> cost $=5790 \cdot \frac{100}{96,5}=\$ 6000$

:::


## AI 추론

### 1번 문제 {.unnumbered}

:::: {.column-page}

::: {.column width="47.5%"}

#### Bing AI {.unnumbered}

1. Sure! Let’s first convert the mixed numbers to improper fractions. $3 \frac{5}{9}$ is equal to $\frac{32}{9}$ and $1 \frac{7}{24}$ is equal to $\frac{31}{24}$. <br> 
Now we can find the sum: $\frac{32}{9} + \frac{31}{24} = \frac{(32)(8) + (31)(3)}{(9)(8)} = \frac{256 + 93}{72} = \frac{349}{72}$. <br> 
The difference is: $\frac{32}{9} - \frac{31}{24} = \frac{(32)(8) - (31)(3)}{(9)(8)} = \frac{256 - 93}{72} = \frac{163}{72}$. <br> 
The product is: $\left(\dfrac{32}{9}\right)\left(\dfrac{31}{24}\right) = \dfrac{(32)(31)}{(9)(24)} = \dfrac{992}{216}$. <br> 
To divide $3 \frac{5}{9}$ by $1 \frac{7}{24}$, we can multiply $3 \frac{5}{9}$ by the reciprocal of $1 \frac{7}{24}$. The reciprocal of $\dfrac{31}{24}$ is $\dfrac{24}{31}$.  <br> 
So the quotient is: $\left(\dfrac{32}{9}\right)\left(\dfrac{24}{31}\right) = \dfrac{(32)(24)}{(9)(31)} = \dfrac{768}{279}$.
:::

::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="47.5%"}
#### OpenAI {.unnumbered}

Let's first convert the mixed numbers into improper fractions:
$3 \frac{5}{9} = \frac{3 \times 9 + 5}{9} = \frac{27 + 5}{9} = \frac{32}{9}$

$1 \frac{7}{24} = \frac{1 \times 24 + 7}{24} = \frac{24 + 7}{24} = \frac{31}{24}$

Find the sum, difference, product, and division of the two improper fractions:
Sum:

$\frac{32}{9} + \frac{31}{24} = \frac{32 \times 24}{9 \times 24} + \frac{31 \times 9}{24 \times 9} = \frac{768}{216} + \frac{279}{216} = \frac{1047}{216}$

Difference:

$\frac{32}{9} - \frac{31}{24} = \frac{32 \times 24}{9 \times 24} - \frac{31 \times 9}{24 \times 9} = \frac{768}{216} - \frac{279}{216} = \frac{489}{216}$

Product:

$\frac{32}{9} \times \frac{31}{24} = \frac{32 \times 31}{9 \times 24} = \frac{992}{216}$

Division:

$\frac{32}{9} \div \frac{31}{24} = \frac{32}{9} \times \frac{24}{31} = \frac{32 \times 24}{9 \times 31} = \frac{768}{279}$

The corrected results are:

Sum: $\frac{1047}{216}$
Difference: $\frac{489}{216}$
Product: $\frac{992}{216}$
Division: $\frac{768}{279}$
:::

::::

### 2번 문제 {.unnumbered}

:::: {.column-page}

::: {.column width="47.5%"}

#### Bing AI {.unnumbered}

Sure! To multiply 73 thousandths by 19 hundredths, you can convert them to decimals first. 73 thousandths is equivalent to 0.073 and 19 hundredths is equivalent to 0.19. Multiplying these two numbers gives us a result of 0.01387.

:::

::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="47.5%"}
#### OpenAI {.unnumbered}

To multiply decimals, first multiply the numbers as if they were whole numbers, and then count the total number of decimal places in both numbers.

73 thousandths can be written as 0.073, and 19 hundredths can be written as 0.19.

Now, multiply the numbers as if they were whole numbers:

73 * 19 = 1387

There are a total of 5 decimal places in both numbers combined (3 decimal places in 0.073 and 2 decimal places in 0.19). So, we need to place the decimal point 5 places from the right in the product:

0.001387

Therefore, the product of 73 thousandths and 19 hundredths is 0.001387.

:::

::::

### 3번 문제 {.unnumbered}

:::: {.column-page}

::: {.column width="47.5%"}

#### Bing AI {.unnumbered}

Sure! Here’s a step-by-step guide on how to divide 2880 by 0.0036:

1. Write the problem as a long division problem: 2880 ÷ 0.0036
1. Move the decimal point in the divisor (0.0036) to the right until it becomes a whole number (36). Move the decimal point in the dividend (2880) the same number of places to the right: 28800000 ÷ 36
1. Perform long division to get a result of 800000.

:::

::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="47.5%"}

#### OpenAI {.unnumbered}

To divide 2880 by 0.0036, you can first divide both numbers by the same power of 10 to make the divisor a whole number. In this case, since the divisor has four decimal places, you can multiply both numbers by 10^4:

2880 * 10^4 = 28800000
0.0036 * 10^4 = 36

Now, divide 28800000 by 36:

28800000 ÷ 36 = 800000

So, 2880 divided by 0.0036 is 800000.
:::

::::

### 4번 문제 {.unnumbered}

:::: {.column-page}

::: {.column width="47.5%"}

#### Bing AI {.unnumbered}

Sure! To find the value in decimals of $\frac{1}{5}+\frac{8}{4}$, you can first convert the fractions to decimals. $\frac{1}{5}$ is equivalent to 0.2 and $\frac{8}{4}$ is equivalent to 2. Adding these two numbers gives us a result of 2.2.

:::

::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="47.5%"}

#### OpenAI {.unnumbered}

First, let's simplify each fraction and convert them to decimals:

$\frac{1}{5}$ as a decimal is 0.2.

$\frac{8}{4}$ can be simplified to $\frac{2}{1}$, which as a decimal is 2.

Now, add the two decimal values:

$0.2 + 2 = 2.2$

So, the value of $\frac{1}{5}+\frac{8}{4}$ in decimals is 2.2.

:::

::::


### 5번 문제 {.unnumbered}

:::: {.column-page}

::: {.column width="47.5%"}

#### Bing AI {.unnumbered}

I’m sorry but your question is a bit unclear. Could you please clarify what you mean by “what part of the month of August is $\frac{7}{18}$ minutes”? Are you asking for a specific date and time in August that corresponds to $\frac{7}{18}$ minutes?

:::

::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="47.5%"}

#### OpenAI {.unnumbered}

To determine what part of the month of August is $\frac{7}{18}$ minutes, we first need to know the total number of minutes in the month of August.

August has 31 days, and each day has 24 hours with 60 minutes per hour. Therefore, there are:

$31 \times 24 \times 60 = 44640$ minutes in August.

Now, we can find what part of the month of August is $\frac{7}{18}$ minutes by dividing $\frac{7}{18}$ by the total number of minutes:

$\frac{7}{18} \div 44640 = \frac{7}{18 \times 44640}$

Now, simplify the fraction:

$\frac{7}{802080}$

So, $\frac{7}{18}$ minutes is $\frac{7}{802080}$ of the month of August.

:::

::::


### 6번 문제 {.unnumbered}

:::: {.column-page}

::: {.column width="47.5%"}

#### Bing AI {.unnumbered}

Sure! A full circumference is equivalent to 360 degrees. To find the number of degrees in 0.01 of a circumference, you can multiply 360 by 0.01 to get a result of 3.6 degrees.

:::

::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="47.5%"}

#### OpenAI {.unnumbered}

To find out how many degrees are in 0.01 of a circumference, you need to consider that a full circumference corresponds to 360 degrees.

To find the number of degrees in 0.01 of a circumference, multiply 360 degrees by 0.01:

360° × 0.01 = 3.6°

So, there are 3.6 degrees in 0.01 of a circumference.

:::

::::


### 7번 문제 {.unnumbered}

:::: {.column-page}

::: {.column width="47.5%"}

#### Bing AI {.unnumbered}

Sure! Let’s say the owner’s cost was $x$. If they lost $3 \frac{1}{2}$ per cent on the sale, then their selling price was $100% - 3 \frac{1}{2}% = 96.5%$ of their cost. So we can write the equation: $0.965x = 5790$. Solving for $x$, we find that the owner’s cost was $\frac{5790}{0.965} \approx $5994.81$.

:::

::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="47.5%"}

#### OpenAI {.unnumbered}

To find the original cost of the house and lot, we set up and solve the equation as follows:

Let the cost of the house and lot be denoted by C. The owner lost $3\frac{1}{2}%$ on the sale, which means they sold it for $100% - 3\frac{1}{2}%$ of its original value. First, convert $3\frac{1}{2}%$ to a decimal:

$3\frac{1}{2}% = 3.5%$

Now, subtract this percentage from $100%$ to find the percentage of the cost at which the house was sold:

$100% - 3.5% = 96.5%$

Now, we know that $96.5%$ of the cost is equal to the selling price, which is $$5,790$. We can write this as an equation:

$0.965C = $5,790$

Now, we can find the cost (C) by dividing both sides of the equation by 0.965:

$C = \frac{$5,790}{0.965}$

$C \approx $5,995.85$

So, the original cost of the house and lot was approximately $$5,995.85$. In LaTeX format, the solution is as follows:

Let the cost be denoted by $C$. The equation representing the loss is:
[0.965C = 5790]

To find the cost, divide both sides by 0.965:
[C = \frac{5790}{0.965} \approx 5995.85]

Therefore, the original cost of the house and lot was approximately $5,995.85.

:::

::::


# 수능 짝수형 문제

2022학년도 대학수학능력시험 문제지 수학영역 짝수형에 나와 있는 수능 문제를 추론능력을 활용하여 풀어보자.

[[챗GPT 수능문제풀이](https://chat.openai.com/share/9296c614-0b6d-4fae-a900-5f8970aa22a0)]{.aside}

## 2번 문제 

> 함수 $f(x)=x^3+3 x^2+x-1$ 에 대하여 $f^{\prime}(1)$ 의 값은?

![](images/K-SAT-math-02.jpg)

::: panel-tabset


### GPT-3.5 {.unnumbered}

quarto-executable-code-5450563D

```r
#| eval: true
library(tidyverse)
library(openai)

solve_math_02 <- create_completion(
    model="text-davinci-003",
    prompt = '\\text { 2. 함수 } f(x)=x^3+3 x^2+x-1 \\text { 에 대하여 } f^{\\prime}(1) \\text { 의 값은? } and explain the answer',
    max_tokens=1024,
    openai_api_key = Sys.getenv("OPENAI_API_KEY")
)

cat(solve_math_02$choices$text)
```

### Bing AI {.unnumbered}

Sure! The derivative of a function $f(x)$ is denoted by $f’(x)$ and represents the rate of change of the function at a given point. To find the value of $f’(1)$ for the function $f(x)=x^3+3 x^2+x-1$, we first need to find its derivative.

The derivative of $x^3$ is $3x^2$, the derivative of $3x^2$ is $6x$, and the derivative of $x$ is 1. The derivative of a constant term like -1 is 0. So, the derivative of the function $f(x)=x^3+3 x^2+x-1$ is:

$$f’(x) = 3x^2 + 6x + 1$$

To find the value of $f’(1)$, we can substitute x=1 into this equation:

$$f’(1) = 3(1)^2 + 6(1) + 1 = 10$$

So, the value of $f’(1)$ for the function $f(x)=x^3+3 x^2+x-1$ is 10.

### chatGPT GPT-4 {.unnumbered}

함수 $f(x)=x^3+3x^2+x-1$의 도함수를 구하고, $x=1$일 때의 값을 구하겠습니다.

$f(x)$의 도함수는 $f'(x)$로 표시되며, 각 항에 대한 미분을 적용합니다:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1)$

각 항에 대한 미분 결과는 다음과 같습니다:

$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

$\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

$\frac{d}{dx}(1) = 0$

이제 도함수를 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

$f'(x) = 3x^2 + 6x + 1$

이제 $f'(1)$을 구합니다:

$f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) + 1 = 3 + 6 + 1 = 10$

따라서, $f^{\prime}(1)$의 값은 10입니다.

### chatGPT 플러그인 {.unnumbered}

환영환각을 없앤 수학 엔진 울프램(Woolfram)을 사용해서 문제를 풀어보자

함수 $f(x)=x^3+3 x^2+x-1$ 의 도함수 $f^{\prime}(x)$ 를 구하면, $f^{\prime}(x)=3 x^2+6 x+1$ 이 됩니 다.
이제 $f^{\prime}(1)$ 의 값을 구하면 됩니다. Wolfram Alpha를 사용하여 이 계산을 수행하겠습니다.
Used Wolfram
함수 $f^{\prime}(x)=3 x^2+6 x+1$ 에 $x=1$ 을 대입하면, $f^{\prime}(1)=10$ 이 됩니다.
따라서, $f^{\prime}(1)=10$ 입니다. 이는 함수 $f(x)=x^3+3 x^2+x-1$ 의 $x=1$ 에서의 기울기를 나타냅니다.

```{=tex}
\begin{align*}
f(x) &= x^3 + 3x^2 + x - 1 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + x - 1) \\
&= 3x^2 + 6x + 1 \\
f'(1) &= 3(1)^2 + 6(1) + 1 \\
&= 10
\end{align*}
```


:::


## 3번 문제 

> 등차수열 $\left\{a_n\right\}$ 에 대하여
> $$
> a_2=6, \quad a_4+a_6=36
> $$
> 일 때, $a_{10}$ 의 값은?


![](images/K-SAT-math-03.jpg)

::: panel-tabset


### GPT-3.5 {.unnumbered}


quarto-executable-code-5450563D

```r
#| eval: false

solve_math_03 <- create_completion(
    model="text-davinci-003",
    prompt = '등차수열 $\left\{a_n\right\}$ 에 대하여 $$ a_2=6, \quad a_4+a_6=36 $$ 일 때, $a_{10}$ 의 값은?',
    max_tokens=1024,
    openai_api_key = Sys.getenv("OPEN_AI_KEY")
)

cat(solve_math_03$choices$text)
```


$$
\begin{align}
& a_2 = 6 \\
& a_4 + a_6 = 36 \\
\end{align}
$$

등차수열의 정의에 따라 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 이므로, $a_1$ 과 $d$ 를 구해야 합니다.

$$
\begin{align}
& a_2 = 6 \\
& a_2 = a_1 + (2-1)d \\
\therefore \quad & a_1 = 6 - d \\
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
& a_4 + a_6 = 36 \\
& a_4 = a_1 + (4-1)d \\
& a_6 = a_1 + (6-1)d \\
\therefore \quad & a_1 + 3d + a_1 + 5d = 36
\end{align}
$$

### 빙 AI {.unnumbered}

Sure! In an arithmetic sequence $a_n$, the difference between consecutive terms is constant. Let’s denote this common difference by $d$. Then we have:

$$a_3 = a_2 + d = 6 + d$$ $$a_4 = a_3 + d = 6 + 2d$$ $$a_5 = a_4 + d = 6 + 3d$$ $$a_6 = a_5 + d = 6 + 4d$$

We are given that $a_4+a_6=36$, so substituting the expressions for $a_4$ and $a_6$ from above, we get:

$$(6+2d)+(6+4d)=36 \Rightarrow 12+6d=36 \Rightarrow d=4$$

Now that we know the common difference $d$, we can find the value of $a_{10}$:

$$a_{10} = a_{9}+d=a_{8}+2d=\cdots=a_{2}+8d=6+8(4)=38$$

So, the value of $a_{10}$ for this arithmetic sequence is 38.

### OpenAI GPT-4 {.unnumbered}

등차수열 $a_n$에서 일반적인 항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$로 표현됩니다. 여기서 $a_1$은 첫 번째 항이고 $d$는 공차입니다.

문제에서 주어진 정보를 사용하여 두 개의 방정식을 작성할 수 있습니다:

$$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d = 6$$
$$a_4 + a_6 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 36$$

첫 번째 방정식에서 $d$에 대해 풀면 $d = 6 - a_1$입니다. 이것을 두 번째 방정식에 대입합니다:

$$(a_1 + 3(6 - a_1)) + (a_1 + 5(6 - a_1)) = 36$$

이제 $a_1$에 대해 풀면 됩니다:

$$2a_1 - 3a_1 + 18 - 5a_1 + 30 = 36$$
$$-6a_1 = -12$$
$$a_1 = 2$$

이제 $a_1 = 2$를 사용하여 공차 $d$를 찾습니다:

$$d = 6 - a_1 = 6 - 2 = 4$$

따라서 등차수열의 첫 번째 항은 $a_1 = 2$이고 공차는 $d = 4$입니다. 이제 $a_{10}$을 찾을 수 있습니다:

$$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 2 + 9 \times 4 = 2 + 36 = 38$$

따라서, $a_{10}$의 값은 38입니다.

### chatGPT 플러그인 {.unnumbered}

등차수열 $\left\{a_n\right\}$ 에서, 일반적인 항은 다음과 같이 표현될 수 있습니다: $a_n=a_1+(n-1) d$, 여기서 $d$ 는 공차입니다.

우리는 $a_2=6$ 이라는 것을 알고 있습니다. 따라서, $a_2=a_1+d=6$ 입니다.

또한, $a_4+a_6=36$ 이라는 것을 알고 있습니다. 이를 일반적인 항의 형태로 바꾸면, $a_1+$ $3 d+a_1+5 d=36$ 이 됩니다. 이를 정리하면, $2 a_1+8 d=36$ 입니다.

이제 두 개의 방정식을 풀어 $a_1$ 과 $d$ 를 찾을 수 있습니다. Wolfram Alpha를 사용하여 이 계산을 수행하겠습니다.

**Used Wolfram**

위의 계산 결과에 따르면, $a_1=2$ 그리고 $d=4$ 입니다.

이제 이 값을 사용하여 $a_{10}$ 을 계산할 수 있습니다. 일반적인 항의 형태인 $a_n=a_1+(n-$ 1) $d$ 에 대입하면, $a_{10}=a_1+9 d$ 입니다. Wolfram Alpha를 사용하여 이 계산을 수행하겠습니 다.

**Used Wolfram**

따라서, $a_{10}=2+9 \times 4=38$ 입니다.

즉, 주어진 등차수열 $\left\{a_n\right\}$ 에서 $a_{10}$ 의 값은 38 입니다.

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