이산형 분포 — 코드 실습

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동전 던지기의 성공 횟수, 한 시간 동안 걸려오는 전화 수처럼 셀 수 있는 값을 갖는 확률변수는 이산형 분포를 따릅니다. 대표적인 이항 분포와 포아송 분포를 R의 d*(확률질량함수), p*(누적분포함수), r*(난수 생성) 함수로 직접 다뤄 봅니다.

1. 이항 분포 — PMF 그려 보기

이항 분포 \(X \sim B(n, p)\)의 확률질량함수는

\[P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, \dots, n\]

dbinom()으로 각 \(x\)의 확률을 계산해 막대그래프로 그립니다. 슬라이더를 움직이면 아래 R 셀이 자동으로 다시 실행되고(OJS 입력 → R 주입), 셀 코드 자체도 여전히 직접 고쳐 실행할 수 있습니다.

viewof n_slider = Inputs.range([1, 50], {value: 10, step: 1, label: "시행 횟수 (n)"})
viewof p_slider = Inputs.range([0.05, 0.95], {value: 0.4, step: 0.05, label: "성공 확률 (p)"})

// webR 호출은 수 초 걸린다 — 드래그 이벤트가 전부 큐잉되지 않도록 디바운스(GOTCHA §9h)
n = debounce(viewof n_slider)
p = debounce(viewof p_slider)

function debounce(view, delay = 500) {
  return Generators.observe(notify => {
    let timer = null;
    notify(view.value);
    const oninput = () => {
      clearTimeout(timer);
      timer = setTimeout(() => notify(view.value), delay);
    };
    view.addEventListener("input", oninput);
    return () => { clearTimeout(timer); view.removeEventListener("input", oninput); };
  });
}

이론적 평균은 \(np\), 분산은 \(np(1-p)\) 입니다. 난수를 뽑아 이론값과 비교해 봅시다.

2. 포아송 분포 — 드문 사건의 횟수

단위 시간당 평균 \(\lambda\)번 일어나는 사건의 발생 횟수는 포아송 분포 \(X \sim \text{Pois}(\lambda)\)를 따릅니다:

\[P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots\]

\(\lambda\)를 키우면 분포가 오른쪽으로 이동하며 점점 대칭(정규분포 모양)에 가까워집니다.

3. 연습 — 누적확률 계산

이항 분포 \(B(10,\ 0.4)\)에서 성공이 3번 이하일 확률 \(P(X \le 3)\)을 구하세요. 누적분포함수 pbinom(q, size, prob)을 사용합니다.