이항정리
개념
\((a+b)^n\)을 펼치면 각 항은 \(n\)개의 괄호 \((a+b)\)에서 \(a\) 또는 \(b\)를 하나씩 골라 곱한 것입니다. \(b\)를 \(r\)번 고르는 방법이 곧 \({}_n\mathrm{C}_r\)가지이므로, \(a^{\,n-r}b^{\,r}\)의 계수는 \({}_n\mathrm{C}_r\)가 됩니다. 이것이 이항정리입니다.
\[(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_r\, a^{\,n-r} b^{\,r}\]
계수 \({}_n\mathrm{C}_0,\,{}_n\mathrm{C}_1,\,\dots,\,{}_n\mathrm{C}_n\)을 이항계수라고 합니다. 조합의 수가 전개식의 계수로 그대로 나타나는 것이 경우의 수와 대수를 잇는 다리입니다.
이항계수를 위에서부터 차례로 쌓으면 파스칼의 삼각형이 됩니다. 각 수는 바로 위 두 수의 합이고(\({}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_{r} = {}_n\mathrm{C}_r\)), 좌우 대칭입니다(\({}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}\)). 아래 앱에서 차수 \(n\)을 바꾸며 삼각형의 한 줄이 \((a+b)^n\)의 계수와 정확히 일치함을 확인해 보세요.
만지며 배우기
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from math import comb
from shiny import App, render, ui
ACCENT = "#2563eb"
app_ui = ui.page_sidebar(
ui.sidebar(
ui.input_slider("n", "차수 n — (a+b)ⁿ", min=1, max=8, value=4, step=1),
width=250,
),
ui.card(
ui.card_header("파스칼의 삼각형 — 파란 줄이 (a+b)ⁿ의 계수입니다"),
ui.output_ui("triangle"),
),
ui.card(ui.output_ui("readout")),
fillable=True,
)
def server(input, output, session):
@render.ui
def triangle():
n = input.n()
rows = ""
for i in range(n + 1):
hi = (i == n)
cells = ""
for r in range(i + 1):
c = comb(i, r)
color = "white" if hi else "#374151"
bg = ACCENT if hi else "transparent"
cells += (
f'<span style="display:inline-block; min-width:34px;'
f' margin:2px; padding:2px 4px; text-align:center;'
f' border-radius:4px; background:{bg}; color:{color};'
f' font-size:0.85em;">{c}</span>'
)
rows += f'<div style="white-space:nowrap;">{cells}</div>'
return ui.HTML(
'<div style="text-align:center; overflow-x:auto;'
f' padding:0.5em 0;">{rows}</div>'
)
@render.ui
def readout():
n = input.n()
coeffs = [comb(n, r) for r in range(n + 1)]
terms = []
for r in range(n + 1):
c = coeffs[r]
cs = "" if c == 1 else str(c)
ap = "" if n - r == 0 else ("a" if n - r == 1 else f"a^{n-r}")
bp = "" if r == 0 else ("b" if r == 1 else f"b^{r}")
body = (ap + bp) or "1"
terms.append(cs + body)
expr = " + ".join(terms)
return ui.HTML(
'<p class="hs-readline">'
f"(a+b)^{n} 의 계수는 {coeffs} 입니다. 삼각형의 아래에서 첫째 줄(파란색)과 "
f"정확히 같습니다.<br><b>(a+b)^{n} = {expr}</b><br>"
f"계수를 모두 더하면 {sum(coeffs):,} = 2^{n} 인데, 이는 (a+b)에 a=b=1을 "
f"넣은 값과 같습니다.</p>"
)
app = App(app_ui, server)이항계수는 조합 함수 comb 로 한 줄에 얻습니다.
from math import comb
n = 5
coeffs = [comb(n, r) for r in range(n + 1)]
print(coeffs) # [1, 5, 10, 10, 5, 1]
# (x+2)^4 에서 x^2 의 계수: r=2 항의 계수 × 2^2
print(comb(4, 2) * 2 ** 2) # 6 × 4 = 24스스로 확인
\(a=x,\,b=2,\,n=4\)에서 \(x^2\) 항은 \(r=2\)일 때이므로 계수는 \({}_4\mathrm{C}_2 \times 2^2 = 6 \times 4 = 24\)입니다. 파스칼의 삼각형 넷째 줄 \(1,4,6,4,1\)에서 가운데 \(6\)에 \(b=2\)의 거듭제곱 \(2^2\)를 곱한 값입니다.
이항정리 \((a+b)^n = \sum {}_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^r\)에 \(a=b=1\)을 넣으면 좌변은 \(2^n\), 우변은 이항계수의 합이 됩니다. 즉 \({}_n\mathrm{C}_0 + {}_n\mathrm{C}_1 + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n = 2^n\)입니다. 이는 원소가 \(n\)개인 집합의 부분집합이 \(2^n\)개인 것과도 같은 사실입니다.