확률의 덧셈정리
개념
두 사건 \(A\) 또는 \(B\)가 일어날 확률은 각각을 더한 뒤, 겹치는 부분을 한 번 빼서 구합니다. 겹치는 \(A\cap B\)를 그냥 더하면 두 번 세어지기 때문입니다. 이것이 확률의 덧셈정리입니다.
\[\mathrm{P}(A\cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A\cap B)\]
1부터 20까지 카드에서 “3의 배수 또는 5의 배수”를 세어 봅시다. 3의 배수는 6장, 5의 배수는 4장이지만, 15는 둘 다이므로 한 번만 세야 합니다. 그래서 \(6 + 4 - 1 = 9\)장입니다.
두 사건이 동시에 일어날 수 없으면(배반사건) 겹치는 부분이 없으므로 \(\mathrm{P}(A\cap B)=0\)이 되어, 덧셈정리는 간단히 다음이 됩니다.
\[\mathrm{P}(A\cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)\quad(\text{배반사건})\]
특히 사건 \(A\)가 일어나지 않을 사건을 여사건 \(A^c\)라 하는데, \(A\)와 \(A^c\)는 배반이면서 합치면 전체이므로 \(\mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(A^c) = 1\), 곧
\[\mathrm{P}(A^c) = 1 - \mathrm{P}(A)\]
입니다. “적어도 하나” 같은 조건은 여사건(“하나도 없다”)의 확률을 1에서 빼는 것이 훨씬 간단할 때가 많습니다. 아래 앱에서 두 배수 조건을 바꾸며, 겹치는 카드가 있을 때와 없을 때 합집합의 크기가 어떻게 달라지는지 색으로 확인해 보세요.
만지며 배우기
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#| standalone: true
#| viewerHeight: 660
from fractions import Fraction
from shiny import App, render, ui
N = 20
A_COLOR = "#2563eb" # A만
B_COLOR = "#f59e0b" # B만
BOTH = "#7c3aed" # 교집합
NONE = "#e5e7eb" # 해당 없음
app_ui = ui.page_sidebar(
ui.sidebar(
ui.input_select("a", "사건 A: 이 수의 배수",
{str(k): f"{k}의 배수" for k in (2, 3, 4, 5)},
selected="3"),
ui.input_select("b", "사건 B: 이 수의 배수",
{str(k): f"{k}의 배수" for k in (2, 3, 4, 5)},
selected="5"),
width=250,
),
ui.card(
ui.card_header("1~20 카드 — 파랑=A, 주황=B, 보라=둘 다"),
ui.output_ui("grid"),
),
ui.card(ui.output_ui("readout")),
fillable=True,
)
def server(input, output, session):
def sets():
a, b = int(input.a()), int(input.b())
A = {k for k in range(1, N + 1) if k % a == 0}
B = {k for k in range(1, N + 1) if k % b == 0}
return a, b, A, B
@render.ui
def grid():
a, b, A, B = sets()
cells = ""
for k in range(1, N + 1):
inA, inB = k in A, k in B
if inA and inB:
bg, fg = BOTH, "white"
elif inA:
bg, fg = A_COLOR, "white"
elif inB:
bg, fg = B_COLOR, "white"
else:
bg, fg = NONE, "#6b7280"
cells += (
f'<div style="width:38px; height:38px; border-radius:6px;'
f' background:{bg}; color:{fg}; display:flex;'
f' align-items:center; justify-content:center;'
f' font-size:0.9em; font-weight:600;">{k}</div>'
)
return ui.HTML(
'<div style="display:flex; flex-wrap:wrap; gap:6px;'
f' padding:0.4em 0.2em;">{cells}</div>'
)
@render.ui
def readout():
a, b, A, B = sets()
both = A & B
union = A | B
pa, pb = Fraction(len(A), N), Fraction(len(B), N)
pab = Fraction(len(both), N)
pu = Fraction(len(union), N)
disjoint = "겹치는 카드가 없어 배반사건입니다. " if not both else ""
return ui.HTML(
'<p class="hs-readline">'
f"P(A) = {len(A)}/{N}, P(B) = {len(B)}/{N}, "
f"P(A∩B) = {len(both)}/{N} 이므로<br>"
f"P(A∪B) = {pa} + {pb} − {pab} = <b>{pu}</b> "
f"(카드 {len(union)}장). {disjoint}"
"겹치는 부분을 빼지 않으면 그만큼 확률이 부풀려집니다.</p>"
)
app = App(app_ui, server)집합 연산으로 덧셈정리를 그대로 확인할 수 있습니다.
from fractions import Fraction
N = 20
A = {k for k in range(1, N + 1) if k % 3 == 0} # 3의 배수
B = {k for k in range(1, N + 1) if k % 5 == 0} # 5의 배수
union = Fraction(len(A | B), N)
by_rule = Fraction(len(A), N) + Fraction(len(B), N) - Fraction(len(A & B), N)
print(union, by_rule) # 9/20 9/20 — 일치스스로 확인
2의 배수는 10장, 3의 배수는 6장, 둘 다인 6의 배수는 3장(6·12·18)입니다. 덧셈정리로 \(\dfrac{10}{20} + \dfrac{6}{20} - \dfrac{3}{20} = \dfrac{13}{20}\)입니다. 겹치는 6의 배수를 빼 주는 것이 핵심입니다.
두 사건이 동시에 일어날 수 없을 때(배반사건, \(A\cap B=\varnothing\))입니다. 예를 들어 한 장을 뽑아 “3의 배수”와 “3으로 나눈 나머지가 1”은 동시에 성립할 수 없으므로, 두 확률을 그냥 더하면 됩니다. 겹침이 조금이라도 있으면 반드시 \(\mathrm{P}(A\cap B)\)를 빼야 합니다.